一 傅里叶变换的性质
这里主要介绍二维离散傅里叶变换（DFT，discrete FT）中的几个常用性质（可分离
线、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理）：
1 可分离性
二维离散傅立叶变换DFT 可分离性的基本思想是二维DFT 可分离为两次一维DFT。
因此可以用通过计算两次一维的FFT 来得到二维快速傅立叶变换FFT 算法 。根据快速
傅里叶变换的计算要求，需要图像的行列数均满足2 的n 次，如果不满足，在计算FFT
之前先要对图像补零以满足2 的n 次。
一个M 行N 列的二维图像f(x,y)，先按行对列变量y 做一次长度为N 的一维离散傅里叶
变换，再将计算结果按列向对变量x 做一次长度为M 傅里叶变换就可以得到该图像的
傅里叶变换结果，如下式所示：
计算过程如下图所示：
每一行有N 个点，对每一行的一维N 点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u)，再对得到F(x,u)按列向对每一列做M 点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v)同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，
如下式所示：
2 周期性和共轭对称性
由傅里叶变换的基本性质可以知道，离散信号的频谱具有周期性。离散傅立叶变换DFT
和它的逆变换都是以傅里叶变换的点数N 为周期的。
对于一维傅立叶变换有： F(u)=F(u±kN)， k=0,1,2,···
对于二维傅立叶变换有：F(u,v)=F(u±kN,v±lN)，k=0,1,2,··· l=0,1,2,···
类似有：f(x±kN,y±lN)=f(x,y)，即从DFT 的角度来看，反变换得到的图像阵列也是二维
循环的。
共轭对称性，傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数。
对于一维信号有：F(u)=F(-u) ，如图a 所示的一维信号的幅度谱：点数为M 的傅里叶变换一个周期为M，关于原点对称，原点即为0 频率点，从图中可以看出在0 频率的值最大，即信号f(x)的直流分量（均值），远离原点处的即为高频成分，高频成分的幅值较小，说明信号的大部分能量集中在低频部分。*
对于二维信号有： F(u，v)=F(-u，-v) 对于二维图像，其结果如图c所示。左上角(0,0)处为二维图像的0频率点，该点的值对应图像的灰度平均值，图中四个角对应低频成分，中间区域为高频成分，低频区域的幅度值大于高频区域的幅度值，也同样表面了该信号的主要能量集中在低频区域。这些结论在我们后面的介绍中会进一步得到证明。*
根据周期性和共轭对称性，在对图像进行频谱分析处理时只需要关注一个周期就可以了，
同时利用图像的傅里叶变换和傅里叶变换的共轭可以直接计算图像的幅度谱，因此使得
图像的频谱计算和显示得以简化。
3 平移性
傅立叶变换对有如下平移性质：
以上式子表明，在频域中原点平移到(u0 ,v0)时，其对应的空间域f(x,y)要乘上一个正的
指数项：
在空域中图像原点平移到(x0,y0)时，其对应的F(u,v)要乘上一个负的指数项：
在数字图像处理中，常常需要将F(u,v)的原点移到N×N 频域的中心，以便能清楚地分
析傅立叶谱的情况，平移前空域、频域原点均在左上方。要做到这点，只需令上面平移
公式中的u0=v0=N/2
则
所以
上式表明：如果需要将图像傅立叶谱的原点从左上角(0,0)移到中心点(N/2,N/2)，只要f(x,y)
乘上(-1)x+y 因子进行傅立叶变换即可实现。
平移性还告诉我们一个有趣的事实：当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，
并不影响它的傅立叶变换的幅值，因为
反之，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变。
根据该平移性质，为了更清楚查看二维图像的频谱，使直流成分出现在图像中央，在把
画面分成四分的基础上，进行如图所示的换位（移位）也是可以的，这样，频域原点就
会平移到中心。如下图所示
4 选择性质
如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图像的傅立叶变换也旋转了相同的角度。
平面直角坐标改写成极坐标形式：
替换则有：
同时，我们可以得出结论，对图像进行旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的。即先
旋转再傅里叶变换或者先傅里叶变换再旋转，得到的结果相同。F{R{f(x,y)}} = R{F{f(x,y)}}
5 卷积与相关定理
卷积定理包括空间域卷积和频率域卷积，卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带：
两个空域信号的卷积等价于其频域信号的乘积
两个信号频域上的卷积等价于空间域的相乘
该性质的好处是将需要经过翻折、平移、相乘、求和等步骤实现的复杂的卷积运算简化为简单的乘法运算，这也是快速傅里叶变换（FFT）的出现使得该性质得到更广泛应用，同时，该性质对于理解信号的频率域处理方法特别重要，使得信号的空间域处理可以转换到频率域进行处理实现。
根据空间域卷积定理，在空间域对应的是原始信号与滤波器的冲击响应的卷积，卷积定义式为信号翻折平移求和的过程，步骤复杂，运算量大，但如果转换到频率域进行处理，则对在将二者的频谱直接相乘就可以得到滤波结果，然后对滤波结果进行傅里叶逆变换就可以得到滤波后的空间域域图像。如下图所示，对信号进行低通和高通滤波处理的过程和效果。
6 相关定理
空域中f(x,y)与g(x,y)的相关等价于频域中F(u,v)的共轭与G(u,v) 相乘
相关定理与卷积定理类似，也是把积分求和过程转化为了频域相乘，因此，也使得相关分析的计算简化。
相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域。f(x,y)是原始图像，g(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板），如果匹配，两个函数的相关值会在f中找到相应g点的位置上达到最大值。如下图所示。图像f(x,y) 与模板g(x,y)，通过计算相关函数，在匹配点处达到最大值，如图中红色圆圈标注的区域。
延拓图像f(x,y)，延拓图像g(x,y)
相关函数图像，通过相关图像最大值的水平灰度剖面图
6 傅里叶变换的实例与应用
首先我们认识几点有关傅里叶变换的特点：
傅里叶变换是从将图像从空间域变换到频率域，具有明确的物理意义。图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度，在噪声点和图像边缘处的频率为高频。
在频率域中，将信号表示为一系列正弦信号或者复指数函数的叠加，正弦信号的频率、幅值和相位可以描述正弦信号中的所有信息，由此可以得到信号的幅度谱和相位谱。在图像领域就是将图像灰度作为正弦变量。
傅里叶变换全局性的，是一个积分求和的过程，对时间、地点位置无法进行准确定义，也就是说傅里叶变换得到的频谱图中的点无法与空间域中的某个空间位置对应，因此，从傅里叶变换图中并不能直接对应某个位置的特点。
傅里叶变换是一系列不同频率三角函数的和，每个频率分量的系数不同，这些系数代表了各频率成分的强弱或者所占比重，通过分析这些系数就可以分析图像的特性。
下面我们通过一些实例来认识傅里叶变换在图像处理中的表现与应用
（1）一幅纯白的图像，在整幅图像中没有像素值的变化，得到的频谱图如左图所示，在图像的中心有一个亮点，该亮点正好对应我们前面所讲的F(0,0)的幅度，其代表图像的平均灰度，也称为直流成分，该点值的大小反映了图像灰度平均值的大小。其余部分为黑色，即其它频率点的幅度值为0，正体现了该图像在空间域中不同位置之间的灰度值没有变化，没有其它频率成分。图像中不同频率成分反映了图像灰度值变化的快慢。
（2）黑白变化图像。观察下面四组图像可以发现，傅里叶变换的幅度谱的高值方向与空间域图像变换的方向垂直。傅里叶频谱图中的每一个像素点都代表一个频率值，幅值由像素点亮度编码而得。最中心的亮点是指直流分量，傅里叶谱图中越亮的点，对应于灰度图中对比越强烈（对比度越大）的点。由于每一列扫描线上没有变化，所以相应的傅里叶频谱图上行向量为0, 每一行扫描线上有亮度差异，所以有频率幅值。
（3）自然图像及其傅里叶变换。低频处较亮，说明低频成分占大多数。当图像中存在比较明显的变化方向时，比如道路、建筑物等边缘，可以从频谱图中发现其隐含的方向，即前面第二组例子中的垂直关系。下面三组图中都有明显的条状地物，观察其频谱图可以发现空间域中几个明显的方向。根据这个特性，当图像中存在条带噪声时，可以通过频域分析，将条带噪声去除。
（4）条带噪声去除。条带噪声是影像中具有一定周期性、方向性且呈条带状分布的一种特殊噪声。这种噪声是特别是遥感影像获取过程中，卫星传感器光电器件在反复扫描地物的成像过程中，受扫描探测元正反扫描响应差异、传感器机械运动和温度变化等影响造成的。以下图的Lina图像添加条带噪声为例，其频谱图如中间所示。
影像中主要是大量的低频信息和少量的高频边缘、噪声等信息，反映在频谱图中就是在原点附近的低频成分强度比较大，而远离原点的高频成分强度逐渐减弱。条带噪声在影像中呈水平分布，其在频谱图中分布在原点的上下两侧。如图所示，垂直方向强度比较明显，并且亮点呈周期性分布，这就可能是条带噪声频谱分布。因此，只要我们滤除频谱图中垂直分布的亮点，然后对其做傅里叶逆变换就可以得到去除条带噪声的影像。 总结：为什么要在频率域研究图像处理
• 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
• 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
• 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
• 一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行