C++ ─── AVL树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

● 它的左右子树都是AVL树

● 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)。

1.2 AVL树节点的定义

template <class K ,class V>
struct AVLTNode
{

	pair<K, V> _kv;
	AVLTNode<K , V>* _left;
	AVLTNode<K, V>* _right;
	AVLTNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balance factor

	AVLTNode( const pair<K ,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

//更新平衡因子//

        新节点pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

        1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可

        2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

//判读平衡因子状态，是否要向上更新，是否要发生旋转//

        此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2

        1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，停止更新（因为平衡因子为0不会对上面造成影响）。

        2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新

        3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

Node*  Find(const K& key)
	{
		//从根开始找
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{

			if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}

		}
		return nullptr;
	}

	bool Insert(const pair<K ,V>& kv)
	{
		//第一个结点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		//从根开始找,看看有没有，没有再插入
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;//parent是要插入位置的父亲
		while (cur != nullptr)
		{

			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//找到了，不用插入
				return false;
			}
		}

		Node* newNode = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = newNode;
		}
		else
		{
			parent->_left = newNode;
		}
		newNode->_parent = parent;

		//向上更新平衡因子，出现+2 或-2 的需要旋转处理

		Node* child = newNode;
		while (parent)
		{
			if (parent->_right == child)
				parent->_bf++;
			else if (parent->_left == child)
				parent->_bf--;

			if (parent->_bf == 0)//不影响上面，不用向上更新
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
					//影响上面，继续更新
					child = parent;
					parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && child->_bf == 1)
				{
					//右面高，左旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && child->_bf == -1)
				{
					//左面高，右旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && child->_bf == -1)
				{
					//(2 ,-1) 先看-1(左面高，先右旋，旋转点在child)
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					//(-2 ,1) 先看1(右面高，先左旋，旋转点在child)
					RotateLR(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
		return true;
	}

1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

        上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

        1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

        2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void RotateR(Node* parent)
	{
		if (parent == nullptr)
			return;

		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		Node* parent2 = parent->_parent;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		if (parent2)
		{
			if (parent2->_left == parent)
			{
				parent2->_left = SubL;
			}
			else
			{
				parent2->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = parent2;
		}
		else
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;//容易忘
		}

		SubL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		int bf = SubLR->_bf;//提前保存(重要)

		RotateL(SubL);
		RotateR(parent);

		//更新平衡因子
		if (0 == bf)//这个容易忘
		{
			SubL->_bf = 0;
			SubLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (1 == bf)//SubLR左面低
		{
			SubL->_bf = -1;
			SubLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (-1 == bf)
		{
			parent->_bf = 1;
			SubL->_bf = SubLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

★★★总结：假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

（2, 1）右面高，以2为旋转点进行左旋

（-2，-1）左面高，以-2为旋转点进行右旋

（2， -1）-1是左面高，先以-1为旋转点进行右旋，2是右面高，再以2 为旋转点进行左旋

（-2, 1）1是右面高，先以1为旋转点进行左旋，-2是左面高，再以-2为旋转点进行右旋

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(Node* Root)
	{
		if (Root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(Root->_left);
		int rightHeight = _Height(Root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight+1;
	}
	bool _IsBalanceTree(Node* Root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == Root) return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(Root->_left);
		int rightHeight = _Height(Root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;
		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (diff != Root->_bf)
		{
			cout <<Root->_kv.first<< "不匹配" <<"diff是"<<diff <<"bf是"<<Root->_bf<< endl;
			return false;
		}
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << "大于2" << endl;
			return false;
		}
		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(Root->_left) && _IsBalanceTree(Root -> _right);
	}

3. 验证用例结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画AVL树的创建过程，验证代码是否有漏洞。

常规场景1 {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}

特殊场景2 {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

1.6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，

比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，

可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

总代码

在这里，感兴趣可以看看

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

template <class K ,class V>
struct AVLTNode
{

	pair<K, V> _kv;
	AVLTNode<K , V>* _left;
	AVLTNode<K, V>* _right;
	AVLTNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balance factor

	AVLTNode( const pair<K ,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};


template<class K ,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTNode<K, V>  Node;
public:

	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	AVLTree(const AVLTree<K, V>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}

	~AVLTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}
	Node*  Find(const K& key)
	{
		//从根开始找
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{

			if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}

		}
		return nullptr;
	}

	bool Insert(const pair<K ,V>& kv)
	{
		//第一个结点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		//从根开始找,看看有没有，没有再插入
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;//parent是要插入位置的父亲
		while (cur != nullptr)
		{

			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//找到了，不用插入
				return false;
			}
		}

		Node* newNode = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = newNode;
		}
		else
		{
			parent->_left = newNode;
		}
		newNode->_parent = parent;

		//向上更新平衡因子，出现+2 或-2 的需要旋转处理

		Node* child = newNode;
		while (parent)
		{
			if (parent->_right == child)
				parent->_bf++;
			else if (parent->_left == child)
				parent->_bf--;

			if (parent->_bf == 0)//不影响上面，不用向上更新
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
					//影响上面，继续更新
					child = parent;
					parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && child->_bf == 1)
				{
					//右面高，左旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && child->_bf == -1)
				{
					//左面高，右旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && child->_bf == -1)
				{
					//(2 ,-1) 先看-1(左面高，先右旋，旋转点在child)
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					//(-2 ,1) 先看1(右面高，先左旋，旋转点在child)
					RotateLR(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
		return true;
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}

private:
	int _Height(Node* Root)
	{
		if (Root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(Root->_left);
		int rightHeight = _Height(Root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight+1;
	}
	bool _IsBalanceTree(Node* Root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == Root) return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(Root->_left);
		int rightHeight = _Height(Root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;
		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (diff != Root->_bf)
		{
			cout <<Root->_kv.first<< "不匹配" <<"diff是"<<diff <<"bf是"<<Root->_bf<< endl;
			return false;
		}
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << "大于2" << endl;
			return false;
		}
		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(Root->_left) && _IsBalanceTree(Root -> _right);
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		if (parent == nullptr)
			return;

		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		Node* parent2 = parent->_parent;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		if (parent2)
		{
			if (parent2->_left == parent)
			{
				parent2->_left = SubL;
			}
			else
			{
				parent2->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = parent2;
		}
		else
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;//容易忘
		}

		SubL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		if (parent == nullptr)
			return;

		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		Node* parent2 = parent->_parent;

		parent->_parent = SubR;
		SubR->_left = parent;

		parent->_right = SubRL;
		if(SubRL)
			SubRL->_parent = parent;

		if (parent2)
		{
			if (parent2->_left == parent)
			{
				parent2->_left = SubR;
			}
			else
			{
				parent2->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = parent2;
		}
		else
		{
			_root = SubR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;

	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		int bf = SubLR->_bf;//提前保存(重要)

		RotateL(SubL);
		RotateR(parent);

		//更新平衡因子
		if (0 == bf)//这个容易忘
		{
			SubL->_bf = 0;
			SubLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (1 == bf)//SubLR左面低
		{
			SubL->_bf = -1;
			SubLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (-1 == bf)
		{
			parent->_bf = 1;
			SubL->_bf = SubLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{

		

		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		int bf = SubRL->_bf;//提前保存(重要)

		RotateR(SubR);
		RotateL(parent);

		//更新平衡因子
		if (0 == bf)
		{
			SubR->_bf = 0;
			SubRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (1 == bf)
		{
			parent->_bf = -1;
			SubR->_bf = SubRL->_bf = 0;
		}
		else if (-1 == bf)
		{
			SubR->_bf = 1;
			parent->_bf = SubRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;

		//前序创建树
		Node* newRoot = new  Node(root->_kv.first ,root->_kv.second);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);
		return newRoot;
	}
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		//后序毁树
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);

		delete root;
	}
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second<<":"<< root->_bf<< endl;
		_Inorder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root;
};

void TestAVLTree()
{
	AVLTree<int, int> t;
	int a[] = { 16,3,7,11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	//int a[] = {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14,18,25,64,8,9};
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.Inorder();
	cout<<t.IsBalanceTree()<<endl;
}

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.3 AVL树的插入

1.4 AVL树的旋转

1.5 AVL树的验证

1.6 AVL树的删除(了解)

1.7 AVL树的性能

总代码

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