【C++动态规划 01背包】2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

本文涉及知识点

LeetCode2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

给你两个正整数 n 和 x 。
请你返回将 n 表示成一些互不相同正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 [n1, n2, …, nk] 的集合数目，满足 n = n1x + n2x + … + nkx 。
由于答案可能非常大，请你将它对 10⁹ + 7 取余后返回。
比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 23 + 33 + 53 。
示例 1：
输入：n = 10, x = 2
输出：1
解释：我们可以将 n 表示为：n = 32 + 12 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。
示例 2：
输入：n = 4, x = 1
输出：2
解释：我们可以将 n 按以下方案表示：

n = 41 = 4 。
n = 31 + 11 = 4 。
提示：
1 <= n <= 300
1 <= x <= 5

动态规划之01背包

本问题 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \iif at position 1: \̲i̲i̲f̲$ i号背包的容量为i^x，求容量为n的方案数。由于x >=1，如果i1 > N，则i1^x >N。故不需要尝试i1号背包。空间复杂度：O(NN)

动态规划的状态表示

dp[i][n]表示[1…i]号背包容量为n的方案数。

动态规划的转移方程

枚举i号背包是否选取
cur = dp[i] pre=dp[i-1]
cur = pre 不需要i号背包
cur[n+i^x] += pre[n]
时间复杂度：O(nnn)

动态规划的填报顺序

i = 1 to （i^x<=n）

动态规划的初始值

dp[0][0]=1，其它全为0。

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
    
    
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{
    
    

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
    
    
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
    
    
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
    
    
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
    
    
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
    
    
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
    
    
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
    
    
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
    
    
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
    
    
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
    
    
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
    
    
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
    
    
			if (n & 1)
			{
    
    
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
    
    
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
    
    
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
    
    
		public:
			int numberOfWays(int n, int x) {
    
    
				vector<vector<C1097Int<>>> dp(n + 1, vector<C1097Int<>>(n + 1));
				dp[0][0] = 1;
				for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
					dp[i] = dp[i - 1];
					for (int j = 0; j <= n; j++) {
    
    
						double d = 0.5 + pow(i, x);
						if (d > INT_MAX)continue;
						const auto sum = j + (int)d;
						if (sum > n) {
    
     continue; }
						dp[i][sum] += dp[i - 1][j];
					}
				}
				return dp.back().back().ToInt();
			}
		};

核心代码

int n,x;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
    
    
			n = 10, x = 2;
			auto res = Solution().numberOfWays(n, x);
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
    
    
			n = 4, x = 1;
			auto res = Solution().numberOfWays(n, x);
			AssertEx(2, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
    
    
			n = 74, x = 5;
			auto res = Solution().numberOfWays(n, x);
			AssertEx(0, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。