经典做市策略之 Avellaneda&Stoikov （二）

书接上回，上回我们已经解决了做市商策略出发点的问题，接下来我们来构建限价单。

构建限价单

为了解决最优报价决策问题，模型进一步研究了可以通过限价单交易参与市场投资的做市商行为。

1）限价单报价及执行数量

做市商在中间价两端分别以 $p^a$ 和 $p^b$ 的价格报单，假设做市商可以连续无成本报价，报价单与中间价之间的距离 $\delta^\alpha=p^a-s$ 、 $\delta^b=s-p^b$ ，以及当前限价单的结构决定了该做市商限价单被执行的优先顺序。具体来讲，以限价买单为例，若市价卖单数量为 $Q$ ，当这批卖单最深的价位 $p^Q$ 低于做市商现价买单报价 $p^b$ 时，限价单被击穿成交，而实证研究表明市价卖单最深价位与中间价的价差 $\Delta P$ 与市价卖单数量的对数值成正比，公式如下：

$\Delta p=p^Q-s\propto\ln Q$

经过时间 $t$ 后，做市商分别持有 $N_t^a$ 手空单， $N_t^b$ 手多单。根据研究，假设 $N_t^a$ 、 $N_t^b$ 分别服从速率为 $\lambda^a$ 和 $\lambda^b$ 的泊松过程， $\lambda^a$ 和 $\lambda^b$ 表示限价单分别被市价单击穿的概率，当 $\delta$ 超出 $\Delta P$ 时，限价单将不会被击穿，从而得到 $\lambda(\delta)=A\exp(-\kappa\delta)$ 。

2）最优化问题

经过时间 $t$ 后，做市商持有现金 $X_t$ ，满足：

$dX_t=p^adN_t^a-p^bdN_t^b$

净库存为 $q_t=N_t^b-N_t^a$ 。此时做市商面临的最优化问题是：

$u(x,s,q,t)=\max_{\delta^a,\delta^b}E[-\exp(-\gamma(X_T+q_TS_T))]$

上述等式也需要满足：

$u(x,s,q,t)=u(x-r^b,s,q+1,t)=u(x+r^a,s,q-1,t)$

可以通过上述价值函数的 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程解得 $r^a$ 和 $r^b$ 的均值即中间价及 $\delta^a$ 和 $\delta^b$ 的和：

$r(s,q,t)=\frac{r^a+r^b}{2}=s-q\gamma\sigma^2(T-t)$

$\delta^a+\delta^b=\frac{2}{\gamma}\ln(1+\frac{\gamma}{\kappa})$

3）带库存惩罚项（ASQ）

根据以上假设建模，经典的 Avellaneda Stoikov 做市模型可以根据自身的净头寸计算出预定价格，然后根据市场的成交概率，围绕这个预定价格做市商得到最优的买卖报价。这个模型虽然能够较好地模拟市价单的成交情况，增加了库存惩罚项，但面对极端行情仍然存在巨大的库存风险，因此为了更好地优化库存管理，Olivier和Charles等提出了根据做市商风险厌恶程度，增加库存的最大值限 $Q_\text{max}$ 。在库存达到最值时，即停止向增加库存方向报价，而只做反方向报价，从而限制库存的进一步增加。

此时，建立目标函数，做市商期望在基准时间 $T$ 内使 $PnL$ 最大化。使用常数绝对风险厌恶效用函数（CARA）进行优化：

$\sup_{\delta_t^a,\delta_t^b\in A}E[-\exp(-\gamma(X_T+q_TS_T))]$

这里 $A$ 是上面定义的可预测过程的集合， $\gamma$ 是做市商风险厌恶程度的绝对风险规避系数， $X_T$ 是在时间 $T$ 处的现金量， $q_T$ 、 $S_T$ 是在时间 $T$ 的标的资产库存价值。

在求解以上优化问题中，引入HJB方程，可以通过求解由以下方程组成的偏微分方程组，可以得到：

$(\delta_t^b)^*=\frac{1}{\gamma}\ln(1+\frac{\gamma}{k})+\frac{1+2q}{2}\gamma\sigma^2(T-t)$

$(\delta_t^b)^*=\frac{1}{\gamma}\ln(1+\frac{\gamma}{k})+\frac{1-2q}{2}\gamma\sigma^2(T-t)$

做市商围绕参考价格进行最优报价，其中买单报价为 $r-\delta^b$ ，卖单报价为 $r+\delta^a$ 。这里会存在几种极端情况，例如当买单最优报价高于市场中标的资产的挂单卖一价时（卖单最优报价同理），做市商可能就会直接使用市价单进行平仓交易。另外，由于AS模型中累计库存惩罚项只体现在基准价格 $r$ 中，为优化库存管理，当 $|q|=Q_\text{max}$ 时，做市商将不再向库存增加方向报单。

结合趋势项（漂移项）

以上部分介绍了经典的AS做市模型，并添加了与做市商风险偏好相关的库存优化，然而，我们在研究过程中对参考价格运动服从布朗运动的假设与实际是存在较大偏差的，很多时候，标的资产的市场价格运动时存在一定的趋势，即应有

$dS_t=\mu d_t+\sigma dW_t$

其中， $\mu$ 为价格运动中的趋势强度。与经典AS做市模型的最优解解法相似，我们将 $S_t$ 过程假设替换，可以得到做市商的近似最优解为

$(\delta_\infty^b)^*=\frac{1}{\gamma}\ln(1+\frac{\gamma}{k})+[-\frac{\mu}{\gamma\sigma^2}+\frac{2q+1}{2}]\sqrt{\frac{\sigma^2\gamma}{2kA}(1+\frac{\gamma}{k})^{1+\frac{k}{\gamma}}}$

$(\delta_\infty^a)^*=\frac{1}{\gamma}\ln(1+\frac{\gamma}{k})+[\frac{\mu}{\gamma\sigma^2}-\frac{2q+1}{2}]\sqrt{\frac{\sigma^2\gamma}{2kA}(1+\frac{\gamma}{k})^{1+\frac{k}{\gamma}}}$

经典做市策略之 Avellaneda&Stoikov （二）

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