AcWing 1303：斐波那契前 n 项和 ← 矩阵快速幂加速递推

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/1305/
http://poj.org/problem?id=3070

【题目描述】
大家都知道 数列吧，。现在问题很简单，输入 和 ，求 的前 项和 。

【输入格式】
共一行，包含两个整数 和 。

【输出格式】
输出前 项和 的值。

【数据范围】


【输入样例】
5 1000

【输出样例】
12

【算法分析】
★ 矩阵快速幂加速递推
（1）已知  数列递推式为 ，但当 极大时，会超时。
故基于“矩阵快速幂加速递推”的思路，改写数列递推式  为 
改写后的递推式对应的 LaTex 代码为：

[F_n \quad F_{n-1}]=[F_{n-1} \quad F_{n-2}] 
\begin{bmatrix}
1 & 1\\ 
1 & 0
\end{bmatrix}
=[F_{n-2} \quad F_{n-3}] 
\begin{bmatrix}
1 & 1\\ 
1 & 0
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
1 & 1\\ 
1 & 0
\end{bmatrix}
=\cdots =[F_1,F_0]
\begin{bmatrix}
1 & 1\\ 
1 & 0
\end{bmatrix}^{n-1}

（2）若令 ，则有 。
据此公式可知，首先求出 ，然后用  左乘，便可得到 ，而  的第一个元素即为 。注意：标红的公式，技巧在于使用了 LaTex 命令： \textcolor{red} { 公式}

\textcolor{red} {X_n=X_1\times A^{n-1}}

★ 矩阵快速幂模板：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/ar左乘ticle/details/143227091

★ 针对本题而言，可构造矩阵递推式：
此公式未设红色的 LaTex 代码如下所示：

[F_{n+1} \quad F_n \quad S_n] 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\ 
1 & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=[F_{n+2} \quad F_{n+1} \quad S_{n+1}]

根据此递推式，可得通项式为：
此递推式对应的未设红色的 LaTex 代码如下所示：

[F_1 \quad F_0 \quad S_0] 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\ 
1 & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^n
=[F_{n+1} \quad F_n \quad S_n]

接下来，便可以在  的时间复杂度下，用矩阵快速幂计算出 。
 
【算法代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=3;
int n,m;

void mul(int a[][3],int b[][3],int c[][3]) {
    int t[3][3];
    memset(t,0,sizeof t);

    for(int i=0; i<3; i++)
        for(int j=0; j<3; j++)
            for(int k=0; k<3; k++)
                t[i][j]=(t[i][j]+(LL)a[i][k]*b[k][j]%m)%m;

    memcpy(c,t,sizeof t);
}

int main() {
    int a[N][N]= {
        {1,0,0},
        {0,0,0},
        {0,0,0}
    };

    int b[N][N]= {
        {1,1,1},
        {1,0,0},
        {0,0,1}
    };

    cin>>n>>m;
    while(n) { //fastPow
        if(n & 1) mul(a,b,a);
        mul(b,b,b);
        n>>=1;
    }
    cout<<a[0][2]<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
5 1000

out:
12
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/131256062
https://www.acwing.com/solution/content/47987/
https://www.cnblogs.com/lipoicyclic/p/14994631.html
https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16341964.html
https://www.acwing.com/blog/content/25/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143227091
https://www.cnblogs.com/yijiull/p/6641422.html
https://www.acwing.com/solution/content/15121/