分门别类刷leetcode——动态规划（C++实现），my write

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leetcode 70 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

1. 输入： 2

2. 输出： 2

3. 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

4. 1. 1 阶 + 1 阶

5. 2. 2 阶

示例 2：

1. 输入： 3

2. 输出： 3

3. 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

4. 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶

5. 2. 1 阶 + 2 阶

6. 3. 2 阶 + 1 阶

思路：

暴力解法：

1. int climbStairs(int n) {

2. if (n == 1 || n == 2) {

3. return n;

4. }

5. return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);

6. }

眼熟吗？这就是费波纳茨。动态规划的优点是把原问题划分成子问题，将每次子问题的计算结果都进行记录，通过查询记录避免了重复计算。

通过暴力搜索，可以推到出动态法规的递推公式：

第 i 阶楼梯爬法的数量 = 第 i -1 阶楼梯爬法的数量 + 第 i -2 阶楼梯爬法的数量

因此可以利用数组记录每一阶台阶的爬法，每次爬的时候，通过查询数组中的数据就可以获得结果。

动态规划的解析原理

通过上面的分析可知，动态规划的解题分为四步

1、确认原问题和子问题

• 原问题——求n阶台阶所有走法的数量
• 子问题——第 i 阶台阶走法的数量

2、确认状态

• 本题的动态规划状态单一，第 i 个状态即为 i 台阶的所有走法数量

3、确认边界条件

• 边界状态为第 1 阶台阶与第 2 阶台阶的走法。第一节台阶有一种走法，第二阶台阶有两种走法。

4、确认状态转移方程

• 将第 i 个状态的值转移为求第 i-1 个状态值与第 i-2 个状态的值。动态规划状态转移方程为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int>dp(n+3,0);
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3; i<=n; i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

leetcode 198 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

1. 输入: [1,2,3,1]

2. 输出: 4

3. 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。

4.   偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:

1. 输入: [2,7,9,3,1]

2. 输出: 12

3. 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。

4.   偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

思考：

1、暴力枚举的方法

• 对于每个房间，有两种可能：被盗和没被盗。如果采用暴力求解的方式，有