022_matrix_dancing_in_Matlab中求解一个超简单的矩阵问题

矩阵体操

首先，可以复习一下向量、矩阵和索引的基础知识。

• 向量约定
• 矩阵约定
• 矩阵索引

一般而言，我们利用进行计算大概就是以下的步骤：

基本上，这个状态图描述了我们大部分时候利用Matlab来构造一个运算的过程。

矩阵定义

矩阵定义的两个基本元素是：类型和大小。

通过zeros、ones、eye、rand等函数可以定义不同性质的矩阵。

操作矩阵

通过+、-、*、/等运算符可以对矩阵进行操作。也可以通过.*、./、.^等运算符对矩阵进行逐元素操作。

当我们把矩阵作为左值进行赋值，就可以改变部分元素的值。

从索引的角度来看，我们可以通过:、end两个符号来访问矩阵的部分元素就；逻辑索引也非常强大，对部分满足条件的元素进行赋值。

此外，矩阵还能通过各种函数进行过变换、组合。

访问矩阵

最终，通过矩阵索引我们可以访问矩阵的元素作为计算结果，或者输出在终端，或者绘制成图像。

例子

这个例子简直是……斯文丧尽，算了，就这个例子吧。

构造矩阵

那么首先，我们构造一个函数来生成这个矩阵：

function m = sumMatrix(varargin)
% 产生一个特殊2维矩阵
%   其中矩阵的元素为，矩阵下标的和减去一
%   1 2 3 4 5 6 ...
%   2 3 4 5 6 7 ...
%   3 4 5 6 7 8 ...
%   4 5 6 7 8 9 ...
%   5 6 7 8 9 ...
%   6 7 8 9 ...

%  函数调用的参数，参考`zeros`, `ones`

m = zeros(varargin{
    
    :});
sz = size(m(1:2));

for i = 1:numel(m)
    [row, col] = ind2sub(sz, i);
    m(row, col) = row + col - 1;
end

这个函数的输入的参数和zeros、ones等函数一样。

我们从zeros函数生成一个矩阵， 然后遍历矩阵的元素（numel计算其元素个数），对每个元素，通过ind2sub函数来计算矩阵的下标，然后计算矩阵的元素的值。

$$m_{ij}=i+j-1,i=1,2,\dots ,n_1,j=1,2,\dots ,n_2$$

这是一个非常经典的Matlab遍历矩阵元素的方式。

操作矩阵

接下来是第二部，保留矩阵左上角的元素，其他元素置为0。

function mNew = leftUpper(m)
arguments
    m (:, :)
end

mNew = m;
sz = size(m);
n = numel(m);
for i = 1:n
    [row, col] = ind2sub(sz, i);

    % top-right
    if col + row > sz(end) + 1 
    % if col + row > size(1) + 1  % left-bottom
        mNew(row, col) = 0;
    end
end

此处增加了一点点新的东西，就是arguments关键字，用来指定输入参数的类型。

同样，我们命名一个新的矩阵mNew，然后遍历原矩阵的元素，如果元素的下标的和大于矩阵对角线下标和，就把这个元素置为0。

这里有一个很好玩的地方，就是在Matlab中，当我们使用mNew = m;来定义一个新的矩阵时，并没有内存的拷贝发生，而是两个变量指向了同一个内存地址。

但是，当我们对mNew进行赋值时，Matlab会自动为mNew分配新的内存空间，这样就不会影响到m的值。这个策略叫copy-on-write。当然，我也不知道知道这个有什么用……

访问矩阵

最后一步，提取矩阵中感兴趣的函数，这里我们需要的是提取左上角 $3\times 3$ 的矩阵。

function mSub = subMatrix(m, row, col)
% 返回矩阵的上左部分，由参数`row`和`col`指定行数和列数

arguments
    m (:, :) 
    row (1,1) {
    
    mustBeInteger, mustBePositive, mustBeInSize(row, m, 1)}
    col (1,1) {
    
    mustBeInteger, mustBePositive, mustBeInSize(col, m, 2)} 
end

mSub = m(1:row, 1:col);

function mustBeInSize(idx, matrix, dim)
if idx > size(matrix, dim)
    eid = 'Size:outsize';
    msg = sprintf("Index (%d) must be less or equal to last index (%d) in given dimesion (%d)", idx, size(matrix, dim), dim);
    throwAsCaller(MException(eid, msg));
end

你要问这个为什么要搞这么复杂……我肯定不会回答你的。

这里对于函数的参数，有了更加复杂的检查。我们使用arguments关键字来指定输入参数的类型，然后使用mustBeInteger、mustBePositive等函数来检查输入参数的合法性。

甚至，这里我们定义了一个内部函数mustBeInSize，用来检查输入参数的合法性，这个函数的输入参数是idx、matrix和dim，分别是索引、矩阵和维度。确保给的行数和列数小于或等于矩阵对应维的长度。

测试

>> T1 = sumMatrix(4, 4)

T1 =

     1     2     3     4
     2     3     4     5
     3     4     5     6
     4     5     6     7

>> T2 = leftUpper(T1)

T2 =

     1     2     3     4
     2     3     4     0
     3     4     0     0
     4     0     0     0

>> T3 = subMatrix(T2, 3, 3)

T3 =

     1     2     3
     2     3     4
     3     4     0

好吧，这个也太无聊了……

总结

1. 矩阵的构造、操作和访问是Matlab的基本操作，也是每次计算的核心流程。
2. 通过zeros、ones、eye、rand等函数可以定义不同性质的矩阵。
3. 通过+、-、*、/等运算符可以对矩阵进行操作。也可以通过.*、./、.^等运算符对矩阵进行逐元素操作。
4. 通过:、end两个符号来访问矩阵的部分元素就；逻辑索引也非常强大，对部分满足条件的元素进行赋值。
5. 通过arguments关键字可以指定输入参数的类型，通过mustBeInteger、mustBePositive等函数来检查输入参数的合法性。
6. 通过copy-on-write策略，Matlab可以减少内存的使用。
7. 验证函数的输入参数的合法性，可以提高程序的稳定性。