Scipy||第二章 Scipy核心模块详解

企业开发 2024-11-02 18:56:35 阅读次数: 0

2.1 scipy.cluster：聚类分析

scipy.cluster 提供了用于将数据集分成若干类的工具，主要包括矢量量化和层次聚类。

2.1.1 矢量量化 (scipy.cluster.vq)

矢量量化是一种将数据映射到离散空间的过程，常用于图像压缩和特征提取。

  • kmeans(obs, k_or_guess, iter=20, thresh=1e-5)：

    • 这是 K-means 聚类的核心函数。obs 是观测数据，k_or_guess 是聚类数目或初始猜测的聚类中心。
    • 它返回质心的坐标和失量。

  • vq(obs, code_book)：

    • 将观测数据 obs 映射到最接近的聚类中心 code_book。
    • 返回码字和观测数据到聚类中心的距离。

示例：

from scipy.cluster.vq import kmeans, vq

# 生成一些随机数据
data = np.random.rand(100, 3)

# 进行 k-means 聚类，聚成3个类
centroids, _ = kmeans(data, 3)

# 使用生成的质心对数据进行矢量量化
code, dist = vq(data, centroids)
2.1.2 层次聚类 (scipy.cluster.hierarchy)

层次聚类是另一种聚类方法，它不需要预先指定聚类数。常用的步骤包括凝聚（从下到上）或分裂（从上到下）的方式。

  • linkage(y, method='single', metric='euclidean')：

    • 计算层次聚类的链接矩阵。y 是输入数据，method 指定连接方法（如 'single', 'complete', 'average' 等），metric 指定距离度量方法。

  • dendrogram(Z, p=30, truncate_mode=None)：

    • 绘制树状图，Z 是链接矩阵，p 指定要显示的聚类数。

  • fcluster(Z, t, criterion='inconsistent')：

    • 根据链接矩阵 Z，按指定的标准分割成 t 个簇。

示例：

from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage, fcluster
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成随机数据
data = np.random.rand(50, 2)

# 使用 'ward' 方法进行层次聚类
Z = linkage(data, method='ward')

# 绘制树状图
dendrogram(Z)
plt.show()

# 根据层次聚类结果，分成3个类
labels = fcluster(Z, 3, criterion='maxclust')

2.2 scipy.constants：物理和数学常数

scipy.constants 提供了一系列常见的物理和数学常数，特别适合科学计算中的使用。

2.2.1 常量和单位转换

  • physical_constants：

    • 返回一个包含常见物理常数的字典，每个常数都有对应的名称、值、单位和不确定性。

  • value(key), unit(key), precision(key)：

    • 分别用于提取常量的值、单位和精度。

  • 常见常量：

    • pi: 圆周率。
    • c: 光速，单位为 m/s。
    • h: 普朗克常数，单位为 J·s。

示例：

from scipy.constants import c, h, pi

# 使用光速常量进行计算
energy = h * c / 500e-9  # 500 nm 的光子的能量

print(f"光速: {c} m/s")
print(f"500 nm 的光子的能量: {energy} J")

2.3 scipy.fft：快速傅里叶变换

scipy.fft 是用于执行快速傅里叶变换（FFT）的一组工具，FFT 是信号处理的重要工具。

2.3.1 傅里叶变换和逆变换

  • fft(x)：

    • 计算一维离散傅里叶变换，x 是输入信号。

  • ifft(x)：

    • 计算傅里叶变换的逆变换。

  • fft2(x), ifft2(x)：

    • 计算二维傅里叶变换及其逆变换，常用于图像处理。

示例：

from scipy.fft import fft, ifft
import numpy as np

# 生成一个正弦波
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = np.sin(x)

# 对信号进行 FFT
Y = fft(y)

# 逆变换以恢复信号
y_inv = ifft(Y)

print(f"原始信号: {y[:5]}")
print(f"恢复信号: {y_inv[:5].real}")  # 取实部

2.4 scipy.integrate：数值积分与微分方程求解

scipy.integrate 提供了数值积分和常微分方程（ODE）的求解工具，广泛应用于物理模拟和工程分析中。

2.4.1 数值积分

  • quad(func, a, b)：

    • 计算函数 func 在 [a, b] 区间上的定积分。返回积分值和误差。

  • dblquad(func, a, b, gfun, hfun)：

    • 计算二重积分，gfun 和 hfun 是积分上下限。

  • nquad(func, ranges)：

    • 计算多重积分，ranges 是一个包含每个积分区间的元组。

示例：

from scipy.integrate import quad

# 定义一个简单的函数
def f(x):
    return x**2

# 计算 f(x) 在 [0, 1] 的定积分
result, error = quad(f, 0, 1)
print(f"积分结果: {result}, 误差: {error}")
2.4.2 常微分方程（ODE）求解

  • solve_ivp(fun, t_span, y0)：

    • 这是一个通用的 ODE 求解器，fun 是微分方程，t_span 是时间区间，y0 是初始条件。

  • odeint(func, y0, t)：

    • 经典的 ODE 求解器，适用于简单问题。

示例：

from scipy.integrate import solve_ivp

# 定义微分方程 dy/dt = -2y
def fun(t, y):
    return -2 * y

# 初始条件
y0 = [1]

# 求解微分方程
sol = solve_ivp(fun, [0, 5], y0)
print(f"解的时间点: {sol.t}")
print(f"解的值: {sol.y}")

2.5 scipy.interpolate：插值

scipy.interpolate 提供了用于填补数据集中的缺失值或进行数据平滑的插值函数。

2.5.1 一维插值
  • interp1d(x, y, kind='linear')：
    • 一维插值，x 和 y 是数据点，kind 指定插值类型（如 'linear', 'quadratic', 'cubic'）。
2.5.2 多维插值
  • griddata(points, values, xi, method='linear')：
    • 在多维空间中进行插值，points 是输入数据点，values 是对应的数值，xi 是需要插值的点。

示例：

from scipy.interpolate import interp1d
import numpy as np

# 生成一些数据
x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/9.0)

# 创建插值函数
f = interp1d(x, y, kind='cubic')

# 在新点进行插值
xnew = np.linspace(0, 10, num=41, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

2.6 scipy.io：数据输入输出

scipy.io 提供了一些用于读写各种文件格式的工具。

2.6.1 MATLAB 文件
  • loadmat(file_name)

  • 读取 MATLAB .mat 文件，返回一个字典，其中包含 MATLAB 文件中的数据。

  • savemat(file_name, mdict)：

    • 将数据保存到 MATLAB .mat 文件，mdict 是包含数据的字典。

示例：

from scipy.io import loadmat, savemat

# 读取 MATLAB 文件
data = loadmat('data.mat')
print(data)

# 保存数据到 MATLAB 文件
savemat('new_data.mat', {'array': np.array([1, 2, 3])})

2.7 scipy.linalg：线性代数

scipy.linalg 扩展了 Numpy 的线性代数功能，提供了更丰富的工具。

2.7.1 矩阵运算

  • inv(a)：

    • 计算矩阵 a 的逆矩阵。

  • det(a)：

    • 计算矩阵 a 的行列式。

  • eig(a), eigh(a)：

    • 计算矩阵 a 的特征值和特征向量。eigh 专门用于 Hermitian 矩阵（对称矩阵）。

示例：

from scipy.linalg import inv, eig
import numpy as np

# 创建一个矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算矩阵的逆
A_inv = inv(A)

# 计算特征值和特征向量
values, vectors = eig(A)

print(f"矩阵的逆: {A_inv}")
print(f"特征值: {values}")
print(f"特征向量: {vectors}")

2.8 scipy.ndimage：多维图像处理

scipy.ndimage 提供多维图像处理功能，如滤波、平移和旋转。

2.8.1 图像滤波

  • gaussian_filter(input, sigma)：

    • 对图像应用高斯滤波，sigma 控制滤波的标准差。

  • sobel(input, axis=-1)：

    • 计算图像的 Sobel 梯度，用于边缘检测。

示例：

from scipy.ndimage import gaussian_filter, sobel
import numpy as np

# 创建一个简单的图像
image = np.array([[1, 2, 1], [0, 0, 0], [1, 2, 1]])

# 应用高斯滤波
filtered_image = gaussian_filter(image, sigma=1)

# 计算 Sobel 边缘
edges = sobel(image)

print(f"滤波后的图像: \n{filtered_image}")
print(f"边缘检测结果: \n{edges}")

2.9 scipy.optimize：优化与根查找

scipy.optimize 提供了函数优化、最小化和根查找的工具。

2.9.1 函数最小化
  • minimize(fun, x0, method='BFGS')：
    • 最小化标量函数 fun，x0 是初始猜测，method 指定优化方法（如 'BFGS', 'Nelder-Mead'）。
2.9.2 根查找
  • root(fun, x0)：
    • 查找方程 fun(x) = 0 的根，x0 是初始猜测。

示例：

from scipy.optimize import minimize, root

# 定义一个目标函数
def objective(x):
    return x**2 + 5 * np.sin(x)

# 使用 BFGS 方法最小化目标函数
result = minimize(objective, x0=0)
print(f"最小值: {result.fun}, 最小点: {result.x}")

# 查找方程 x^2 - 2 = 0 的根
def func(x):
    return x**2 - 2

sol = root(func, x0=1)
print(f"根: {sol.x}")

2.10 scipy.signal：信号处理

scipy.signal 提供了信号处理的各种工具，如滤波器设计和卷积运算。

2.10.1 滤波器设计
  • butter(N, Wn, btype='low')：
    • 设计 Butterworth 滤波器，N 是滤波器阶数，Wn 是截止频率。
2.10.2 卷积与相关
  • convolve(in1, in2, mode='full')：
    • 计算两个信号的卷积。

示例：

from scipy.signal import butter, convolve
import numpy as np

# 设计一个低通 Butterworth 滤波器
b, a = butter(4, 0.2)

# 应用滤波器
filtered_signal = lfilter(b, a, signal)

# 计算两个信号的卷积
conv_result = convolve(signal1, signal2)

2.11 scipy.sparse：稀疏矩阵

scipy.sparse 提供了处理稀疏矩阵的工具，这在处理大规模矩阵时非常有用。

2.11.1 稀疏矩阵创建

  • csr_matrix(data, shape)：

    • 创建 Compressed Sparse Row (CSR) 格式的稀疏矩阵。

  • csc_matrix(data, shape)：

    • 创建 Compressed Sparse Column (CSC) 格式的稀疏矩阵。

示例：

from scipy.sparse import csr_matrix

# 创建一个稀疏矩阵
data = np.array([1, 2, 3, 4])
row_indices = np.array([0, 1, 2, 2])
col_indices = np.array([0, 2, 2, 3])

sparse_matrix = csr_matrix((data, (row_indices, col_indices)), shape=(3, 4))
print(sparse_matrix)

2.12 scipy.spatial：空间数据结构与算法

scipy.spatial 提供了处理空间数据的工具，如 KD 树和 Delaunay 三角剖分。

2.12.1 KD 树
  • KDTree(data)：
    • 创建 KD 树，用于高效的最近邻搜索。

示例：

from scipy.spatial import KDTree
import numpy as np

# 创建点数据
points = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

# 创建 KD 树
tree = KDTree(points)

# 查找最近邻
dist, idx = tree.query([3, 3])
print(f"最近邻距离: {dist}, 索引: {idx}")

2.13 scipy.special：特殊函数

scipy.special 包含了大量数学中的特殊函数，如伽马函数和贝塞尔函数。

2.13.1 常见特殊函数

  • gamma(x)：

    • 计算伽马函数。

  • jv(n, x)：

    • 计算第一类贝塞尔函数。

示例：

from scipy.special import gamma, jv

# 计算伽马函数
gamma_val = gamma(5)
print(f"伽马函数值: {gamma_val}")

# 计算贝塞尔函数
bessel_val = jv(0, 2.5)
print(f"贝塞尔函数值: {bessel_val}")

2.14 scipy.stats：统计

scipy.stats 提供了广泛的统计工具，包括概率分布、假设检验等。

2.14.1 分布和假设检验

  • norm()：

    • 提供正态分布的概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）等。

  • ttest_ind(a, b)：

    • 两个独立样本的 t 检验。

示例：

from scipy.stats import norm, ttest_ind

# 正态分布的 PDF
pdf = norm.pdf(0, loc=0, scale=1)
print(f"PDF 值: {pdf}")

# 两个独立样本 t 检验
data1 = [1, 2, 3, 4, 5]
data2 = [5, 6, 7, 8, 9]
t_stat, p_val = ttest_ind(data1, data2)
print(f"t 统计量: {t_stat}, p 值: {p_val}")

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