音频进阶学习五——递归/非递归离散时间系统与差分方程

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前言

在之前的几篇文章中，我们介绍了系统的概念，以及系统的基本运算和分类，其中对于线性时不变系统做了很详细的介绍，并通过卷积和推导了线性时不变系统的数学公式，在此基础上，进一步介绍了系统的实际应用——滤波器的概念和分类，其中特别提到了FIR滤波器（有限长冲激响应的系统）和IIR滤波器（无限长冲激响应的系统）。

FIR和IIR滤波器的特征中，不仅仅满足线性时不变还是一种记忆系统，即依赖过去的输出，或者还要依赖过去的输入，那么在这种情况下，如何对于这一类系统，如何求导他们的数学公式呢？请看接下来的文章。

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一、递归和非递归的离散时间系统

1.递归和非递归系统的定义和区别

简单来说，递归系统的的输出不仅仅依赖过去的输入，还依赖过去的输出；而非递归系统仅仅依赖过去的输入。

两者的区别在于存不存在反馈回路，如图

图（a）仅仅需要过去的输入就可以，所以它是非递归系统
图（b）还需要过去的输入，并且存在反馈，所以他是递归系统
两张图片中其他的参数下文中解释。

2.递归系统和非递归系统存在的意义

设想这样一个场景，你在一个空旷的山谷中，大声的呼喊了一声，这个时候听到的不仅仅是自己此时此刻发出的声音，还有由山谷反射回来的声音。

假设最简单的场景，只有一声回声，虽然实际中肯定不如此，此时用公式简单的表示为：
$$y(n)=x(n)+b_{k}x(n-k)$$
此时$y(n)$是当前的输出，$x(n)$是当前的输出，$b_k$是当前回声的衰减，$x(n-k)$是之前的输出，这种就是最简单的非递归系统，那么如果想要更复杂一点，就把之前的输出$y(n-k)$也考虑进去。

二、非递归系统的公式

1.回顾卷积和

在推导差分方程之前，我们先简单回顾一下上一篇文章中推导的卷积和公式：

• 根据线性系统的叠加性，对于输入信号$x(n)$拆分为多个信号加权和，然后得到输出公式
  $$y(n)=\sum _k{c}_k{y}_k(n)$$
• 使用特殊符号$h(n,k)$表示系统对于输入单位采样在$n=k$时的冲激响应，再进行替换，得到

$$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n,k)$$

• 由于系统是时不变，输入输出特性不会发生改变，最终得到

$$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n-k)$$

2.非递归系统表达方式

由于非递归系统只需要考虑之前的输出，所以它的表达方式非常简单：
$$y(n)=F[x(n),x(n-1),x(n-2)...,x(n-M)]$$
其中$F[\ast ]$是自变量的函数，$M$是当前$n$过去输入的范围取值，也叫做阶数。

在之前的一篇文章中我们说到FIR滤波器的卷积公式为
$$y[n]=\sum _{k=0}^{N-1}h[k]\ast x[n-k]$$
这里可以印证，表达方式为：
$$y[n]=\sum _{k=0}^{M}h[k]\ast x[n-M]$$
$$=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+h(2)x(n-2)+....+h(M)x(n-M)$$
$$=y(n)=F[x(n),x(n-1),x(n-2)...,x(n-M)]$$

三、递归系统公式

1.差分方程

差分方程是描述离散时间信号或系统的方程，主要用于分析和处理随时间变化的离散数据。可以看作是对离散时间序列的递推关系，它定义了当前状态与过去状态之间的关系。

2.差分方程表达递归公式

递归系统存在反馈回路，需要参考过去输入和输出信号，它的差分方程表达式为
$$y(n)=F[y(n-1),y(n-2)...,y(n-N),x(n),x(n-1),x(n-2)...,x(n-M)]$$
其中$N$和$M$分别式过去输出的阶数，和过去输入的阶数。

3.差分方程的阶数

一阶差分方程是指只需要考虑前一时刻的输出和此时输入信号，如下：
$$y(n)=ay(n-1)+bx(n)$$
二阶差分方程是指需要考虑前一个时刻的输出、此时的输入、前二时刻的输出、前一时刻的输入，如下：

$$y(n)=a_{0}y(n-1)+b_{0}x(n)+a_{1}y(n-2)+b_{1}x(n-1)$$
其中$a_0$、$b_0$、$a_1$、$b_1$分别是输入和输出的系数。

例如一个最简单的一阶差分计算的递归系统：
$$y(0)=x(0)$$
$$y(1)=\frac{1}{2}y(0)+\frac{1}{2}x(1)$$
$$y(2)=\frac{2}{3}y(1)+\frac{1}{3}x(2)$$
也就是这个系统的计算方式为：
$$y(n_0)=\frac{n_0}{n_0+1}y(n_0-1)+\frac{1}{n_0+1}x(n_0)$$

4.差分方程的推导

假如现在有一阶差分方程：

$$y(n)=ay(n-1)+bx(n)$$
那么按照规律有：
$$y(0)=ay(-1)+x(0)$$
$$y(1)=ay(0)+x(1)=a^{2}y(-1)+ax(0)+x(1)$$
$$y(2)=ay(1)+x(2)=a^{3}y(-1)+a^{2}x(0)+ax(1)+x(2)$$
$$y(n)=ay(n-1)+x(n)=a^{n+1}y(-1)+a^{n}x(0)+a^{n-1}x(1)+...+ax(n-1)+x(n)$$
即
$$y(n)=a^{n+1}y(-1)+\sum _{k=0}^n{a}^{k}x(n-k)n\ge 0$$

4.IIR系统由差分方程表示

相对于FIR滤波器来说，由于IIR系统存在无限冲激响应，当处于非弛豫状态（即$x=0$时$y\ne 0$）时，利用一阶差分方程表示

$$y[n]=\sum _{k=0}^N{b}_{k}x[n-k]-\sum _{k=1}^M{a}_{k}y[n-k]$$

其中：

• $b_k$:输入信号的系数（前馈部分），也就是当$n=k$时，输入信号的系数$b_0,b_1,b_2.....$
• $a_k$：输出信号的系数（反馈部分），也就是当$n=k$时，输出信号的系数$a_0,a_1,a_2.....$

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总结

本文先对于什么是递归系统、非递归系统做了介绍，在之前卷积和的基础上，利用差分方程来描述递归系统和非递归系统的表达式，而博主的最终目的，其实是为了解释IIR滤波器和FIR滤波器的特征，是为了研究在实际数字音频信号中的3A处理，这两种滤波器在3A处理中是非常重要的。当然，对于这一块是放在别的系列文章中介绍。

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