Clarke变换和Park变换及逆变换详解

在电机控制中，尤其是FOC（Field-Oriented Control，磁场定向控制）中，Clarke变换和Park变换是核心数学变换，用于将三相电机电流或电压从物理坐标系转换为可以简化控制的坐标系，从而实现高效的电机转矩和磁通控制。

Clarke变换是将三相静止坐标系中的电流（或电压）转换到两相静止坐标系（αβ坐标系），这种转换可以将三相系统的复杂性降低。

设三相电流为 $I_a$ , $I_b$ , $I_c$ ，通过Clarke变换可以得到α轴和β轴上的电流 $I_{\alpha}$ 和 $I_{\beta}$ ，公式如下：

$I_{\alpha} = I_a$

$I_{\beta} = \frac{I_a + 2I_b}{\sqrt{3}}$

其中，A相电流 $I_a$ 直接对应 α 轴，B、C相通过几何关系变换到 β 轴。在实际应用中，C相可以通过 $I_c = -(I_a + I_b)$ 计算得到，因此只需要知道 A 相和 B 相即可。

作用：Clarke变换将三相系统简化为二维平面中的向量表示（αβ坐标系），这有助于后续的Park变换处理。

Park变换则是将Clarke变换得到的αβ坐标系（静止坐标系）转换到旋转坐标系（dq坐标系）。通过Park变换，可以将交流电流转换为直流电流进行控制，使得电机控制更加简便。

$I_d = I_{\alpha} \cos(\theta) + I_{\beta} \sin(\theta)$

$I_q = -I_{\alpha} \sin(\theta) + I_{\beta} \cos(\theta)$

其中，θ 是电机的转子位置角，d轴（直轴）与转子的磁场对齐，q轴（交轴）垂直于磁场。经过Park变换后，电流分量 $I_d$ 和 $I_q$ 分别代表电机的磁通和转矩电流分量。

作用：通过将αβ坐标系的电流转换为dq坐标系，能够有效地解耦磁通和转矩的控制。电流 $I_d$ 控制电机的磁通， $I_q$ 控制电机的转矩，这样就可以分别对这两个分量进行独立控制。

在FOC控制中，控制器对电流进行调节之后，dq坐标系中的电流需要通过逆Park变换和逆Clarke变换转换回三相电流（或电压）以产生控制信号。

$I_a = I_{\alpha}$

$I_b = -\frac{1}{2}I_{\alpha} + \frac{\sqrt{3}}{2}I_{\beta}$

$I_c = -\frac{1}{2}I_{\alpha} - \frac{\sqrt{3}}{2}I_{\beta}$

通过逆Clarke变换，将αβ坐标系的电流分量还原回三相系统，用于实际电机的三相供电。

在逆Park变换中，dq坐标系中的电压或电流通过以下公式转换回αβ坐标系：

$V_{\alpha} = V_d \cos(\theta) - V_q \sin(\theta)$

$V_{\beta} = V_d \sin(\theta) + V_q \cos(\theta)$

然后通过逆Clarke变换，得到实际用于驱动电机的三相电压信号 $V_a$ 、 $V_b$ 、 $V_c$ 。

在电机控制系统中，三相电流的变化是交流的，这意味着在时间上电流和电压的变化是复杂的。通过Clarke和Park变换，可以将三相电流变换为更简单的两相系统，再通过Park变换进一步转换到旋转坐标系中，从而把交流信号转变为类似于直流信号进行处理和控制。

Clarke变换和Park变换是电机FOC控制的关键工具，帮助将三相交流电机的电流和电压从静止坐标系转换到旋转坐标系，进而实现对电机磁通和转矩的精确解耦控制。逆变换则用于将控制结果再转换回三相电流，用于驱动电机。在实际应用中，这种变换极大简化了电机控制算法，使得电机的高性能和高效率控制成为可能。