B-spline Curves

Bezier curve

贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试，并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法，来辅助汽车车体的工业设计。

正是因为控制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。

Bezier曲线由一组控制点P0到Pn定义，其中n称为其阶(n = 1表示线性，2表示二次，等等)。第一个控制点和最后一个控制点始终是曲线的端点;然而，中间控制点(如果有的话)通常不在曲线上。

一阶贝塞尔曲线(Linear Bezier curves)

给定控制点P0和P1, 线性贝塞尔曲线是两点中的线段。

$B_t=P_0+t(P_1-P_0)=(1-t)P_0+tP_1, \quad t\in[0,1]$

二阶贝塞尔曲线(Quadratic Bezier curves)

给定三个控制点P0 P1和P2, 取S0为直线P0P1一阶贝塞尔曲线，S1为P1P2一阶贝塞尔曲线，得：

$B_t=(1-t)[(1-t)P_0]+t[(1-t)P_1+tP_2], \quad t\in[0,1]\\ =P_1+(1-t)2(P_0-P_1)+t^2(P_2-P_1)$

可推导出一阶导数为：

$\dot{b}_t=2(1-t)(P_1-P_0)+2t(P_2-P_1)$

由此可见，二阶贝塞尔曲线在P0和P2处的切线相交于P1。

可推导出二阶导数为：

$\ddot{B}_t=2(P_2-2P_1+P_0)$

三阶贝塞尔曲线(Cubic Bezier curves)

给定四个控制点P0 P1 P2和P3，由以上推导，三阶贝塞尔曲线可以由二阶导出：

$B_t = (1 - t) B_t^{P_0, P_1, P_2} + tB_t^{P_1, P_2, P_3}, \quad t \in [0, 1]$

展开可得：

$B_t = (1 - t)^3 P_0 + 3(1 - t)^2 t P_1 + 3(1 - t) t^2 P_2 + t^3 P_3$

可推导出一阶导数为：

$\dot{B}_t = 3(1 - t)^2 (P_1-P_0) + 6 (1 - t) t (P_2 - P_1) + 3 t^2 (P_3 - P_2)$

可推导出二阶导数为：

$\ddot{B}_t=6(1-t)(P_2-2P_1+P_0)+6t(P_3-2P_2+P_1)$

N阶通用形式

$B_t=\sum\limits_{i=0}^{n}b_i,n(t)P_i, \quad t \in [0,1]\\ bi,n(t)=\binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}, \quad i=0,...,n\\ \binom{n}{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}$

其导数为：

$\dot{B}_t=n\sum \limits_{i=0}^{n-1}b_{i,n-1}(t)(P_i+1-P_i)$

其中bi,n称为Bernstein polynomial，Pi称为贝塞尔曲线控制点，由控制点组成的多边形为贝塞尔多边形，并且此多边形为贝塞尔曲线的凸包(convex hull)。

贝塞尔曲线性质

曲线从P0开始，到Pn结束，称为端点插值性质。
当且仅当所有控制点共线时，曲线是一条直线。
曲线的起点和终点分别与贝塞尔多边形的第一段和最后一段相切。
一条曲线可以在任意点上分成两条子曲线，也可以分成任意多条子曲线，每条子曲线都是贝塞尔曲线。
有些曲线看起来很简单，比如圆，不能用Bezier曲线或分段Bezier曲线精确地描述。
每条二次贝塞尔曲线也是一条三次贝塞尔曲线，更一般的，每一条n阶贝塞尔曲线也是一条m阶贝塞尔曲线，其中m > n。比如n阶贝塞尔曲线具有控制点P0,⋯,Pn也是n+1阶贝塞尔曲线，其中 $P_{k}^{'}=\frac{k}{n+1}P_{k-1}+(1+\frac{k}{n+1})P_k$
贝塞尔曲线具有变异递减性质。从直观的角度来看，这意味着一条Bezier曲线的“波动”不会超过它的控制点的多边形，而实际上它的“波动”可能比控制点的多边形还要小.
对于某些控制点的选择，大于2阶的贝塞尔曲线可能会与自身相交，也可能有一个尖顶。

Uniform Cubic B-Splines in SE3

SE3定义为：

$_{a}^{b}\textbf{\textrm{T}}=\begin{bmatrix} ^{b}\textbf{\textrm{R}} & \textbf{p}_a\\ a & 1 \end{bmatrix} , \quad _{a}^{b}\textbf{\textrm{T}} \in \textrm{SE}(3), \quad _{a}^{b}\textbf{\textrm{R}} \in \textrm{SO}(3)$

假设角速度和线速度在每个变换过程中都是恒定的。利用矩阵对数和指数，我们可以定义如下函数:

$_{s}^{w}\mathbf{T}(t) = \exp\left( \tilde{B}_{0,k}(t) \log\left( _{0}^{w}\mathbf{T} \right) \right) \prod\limits_{i=1}^{n} \exp\left( \tilde{B}_{i,k}(t) \log\left( _{i-1}^{w}\mathbf{T}^{-1} \, _{i}^{w}\mathbf{T} \right) \right)$