SVM支持向量机（Support Vectors Mechine）

SVM支持向量机（Support Vector Mechine）

SVM是一种监督学习算法，常用于解决二分类问题（也可以解决多分类问题），它可以处理线性可分的数据，同时也可以处理线性不可分的数据，广泛应用于分类、回归甚至异常检测等任务。SVM的核心思想是找到数据点之间的最优边界，这个边界能够最大化不同类别之间的间隔。

一、线性可分

线性可分的数据是指至少能够通过一个直线将数据进行分隔开，如下图所示：

数据可以有无数条直线能够分隔开，但是在所有直线中，我们能够直观的感受到，上图中红色的直线分割的效果是最好的，我们对分割直线定义标准：

定义： 直线的参数为 $w$，直线分割的两部分数据与直线的距离为 $\frac{d}{2}$，其中 $d$ 被称为间隔，间隔d的值越大，我们认为分割直线的效果越好。

我们对数据集以及模型进行符号定义：

1. 数据集定义：$(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{y_i})$ 含义为 $(特征向量，标签)$ ，其中 $y$ 的取值为1或-1；

2. 线性模型：$(\vec{w},b)$，$w^{T}x+b=0$，该函数表示一个超平面（HyperPlane）用于分割数据；

3. 训练集线性可分的条件：

   对于 ${\forall }_i(\overrightarrow{x_i},y_i)$，$\exists (\vec{w},b)$，使得 ${\forall }_i(\overrightarrow{x_i,y_i})$ 有：

   1. 若 $y_i=1$，则${\vec{w}}^T{\vec{x}}_i^T+b\ge 0$；
   2. 若 $y_i=-1$，则 ${\vec{w}}^T{\vec{x}}_i^T+b<0$；

   可将条件1与条件2进行合并，得：$y_i\cdot ({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i+b\ge 0)$ ；

知识回顾

1. 平面的缩放

平面 ${\vec{w}}^T\vec{x}+b=0$ 与平面 $a{\vec{w}}^T\vec{x}+ab=0$ 表示的是同一个平面（其中$a\in R^{+}$），若 $(\vec{w},b)$满足公式 $y_i\cdot ({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i+b\ge 0)$，则$(a\vec{w},ab)$也满足公式$y_i\cdot ({\vec{w}}^T{\vec{x}}_i+b\ge 0)$。

2. 点到平面的距离公式

设平面方程为：$w_{1}x+w_{2}x+b=0$，点的坐标为：$(x_0,y_0)$

则点到平面的距离为：$d=\frac{|w_i{x}_0+w_2{y}_0+b|}{\sqrt{w_i^2+w_2^2}}$ = $\frac{|{\vec{w}}^T{\vec{x}}_0+b|}{||{\vec{w}}_0|}$ 这里的$\overrightarrow{x_0}$表示一个向量，包含了$x_0,y_0$

我们可以用 $a$ 去缩放 $(\vec{w},b)$，最终使得在支持向量 $\overrightarrow{x_0}$ 上有 $|{\vec{w}}^T{\vec{x}}_0+b|=1$，此时支持向量与平面距离 $d=\frac{1}{||\vec{w}||}$

SVM模型（线性可分模型）

支持向量机是需要最大化距离$d$，直观角度上看，能分割两部分线性可分数据的直线有无数条，但能使$d$最大的只有一条，因此我们要最大化$d$，对点到平面的距离进行缩放令距离为1可得：$d=\frac{1}{||\vec{w}||}$，即需要最小化$||\vec{w}||$，我们定义：

• 最小化：$\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2$

• 限制条件：$y_i[{\vec{w}}^T{\vec{x}}_i+b]\ge 1$ （这里我们缩放$\vec{w},b$使得${\vec{w}}^T{\vec{x}}_i+b=1$）

这样转化为了一个二次规划问题。

二次规划问题：

• 目标函数：二次项

• 限制条件：一次项

对于二次规划问题，要么是无解的，要么只有一个极值（极值即最值）

硬间隔与软间隔

硬间隔是指直线不容忍任何一个点，严格按照原有数据进行划分，但是这样得到的模型并不是一个好模型，虽然有可能将数据进行分割，但是在使用该模型的时候，并不能有很好的效果，所以对于一些异常点，模型需要有一定的容忍性，因此提出软间隔。

软间隔是指容忍一定的异常数据，然后再对数据进行分割，以此来得到一个性能不错的模型。

为了达到软间隔的目的，我们修改目标函数，以及限制条件如下：

• 最小化：$\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i$
• 限制条件：1. $y_i[{\vec{w}}^T{\overrightarrow{x_i}}^T+b]\ge 1-{\xi }_i$， 2. ${\xi }_i\ge 0$

其中 ${\xi }_i$ 是一个松弛变量，是为了将硬间隔转换为软间隔而设定的，${\xi }_i$是一个未知变量，由于 ${\xi }_i\ge 0$，所以当 ${\xi }_i$ 非常大时，松弛度太高，模型会容忍太多的异常数据，这样会使得参数 $\vec{w}$ 和 $b$ 有很大范围的选择，也就是说会有太多的直线能够满足我们的限制条件1，这将会是一个非常糟糕的模型，同样，如果松弛度太小，会导致模型严格按照数据进行划分，这样会考虑所有的异常数据，这样得到的模型也是不好的模型，是一个过拟合现象，为了尽量提高模型的性能，通常我们再添加一个参数 $C$ 在松弛变量前，用以限制 ${\xi }_i$的松弛大小。

可以将$C\sum _{i=1}^N{\xi }_i$ 类比为线性模型中的正则项

二、线性不可分

线性不可分是指在特征空间中，数据点不能通过一个线性超平面（直线或超平面）完全分开的情况。支持向量机（SVM）通过使用核技巧将数据映射到更高维空间，在这个高维空间中数据可能是线性可分的，从而可以找到一个线性边界来区分不同的类别。线性不可分的例子如下图：

高维映射

对于线性不可分的数据，我们可以对数据进行高维映射，使其变为一个线性可分的数据，定义高维映射函数为：$\varphi (x)$ ，通过高维映射函数，我们可以将数据映射到一个更高的维度。

高维映射实例：

假设高维映射函数为：$\varphi (x)=[a^2,b^2,a,b,ab]$，且原数据为：$x=[a,b]$的格式，则可以将任意的二维数据映射到五维的超平面中，如：$x_1=[0,1]$，则：$\varphi (x_1)=[0,1,0,1,0]$。

如果数据的维度可以上升到无限维，那么数据线性可分的概率为1

我们无法知道无限维映射函数$\varphi (x)$的显示表达式，但我们可以通过核函数（Kernel Function）来知道高维映射的内积结果：
$$K(x_1,x_2)=\varphi (x_1{)}^T\cdot \varphi (x_2)$$
内积的结果是一个数值。

常用的核函数：

1. 高斯核：$K(x_1,x_2)=e^{-\frac{||x_1-x_2|{|}^2}{2{\sigma }^2}}$
2. 多项式核（参数d表示多项式的阶数）：$K(x_1,x_2)=(x_1^T{x}_2+1{)}^d$

问题的转化的一般形式（具有非常普适性）：

1. 原问题

• 最小化：$f(w)$

• 限制条件：1. $g_i(w)\le 0(i=1\sim k)$ 2. $h_i(w)=0(i=1\sim m)$

2. 原问题转换为对偶问题

定义：$L(w,\alpha ,\beta )=f(w)+\sum _{i=1}^K{\alpha }_i{g}_i(w)+\sum _{i=1}^M{\beta }_i{h}_i(w)$

这里的$\alpha$是与$g_i(w)$进行相乘的，也就是说$\alpha$是只与所有的不等式限制条件相乘，同理$\beta$与所有的等式限制条件相乘。

• 最大化： θ ( α , β ) = inf ⁡ { L ( w , α , β ) } \theta(\alpha, \beta) = \inf\{L(w, \alpha, \beta)\} θ(α,β)=inf{ L(w,α,β)}， $\inf$表示求最小值。

• 限制条件：${\alpha }_i\ge 0(i=1\sim k)$

定理以及性质

如果$w^{\ast }$是原问题的解，而${\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast }$是对偶问题的解，则有$f(w^{\ast })\ge \theta ({\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast })$

证明：

θ ( α ∗ , β ∗ ) = inf ⁡ { L ( w , α ∗ , β ∗ ) } ≤ L ( w ∗ , α ∗ , β ∗ ) = f ( w ∗ ) + ∑ i = 1 K α i g i ( w ∗ ) + ∑ i = 1 M β i ∗ h i ( w ∗ ) \theta(\alpha^*, \beta^*) = \inf\{L(w, \alpha^*, \beta^*)\} \leq L(w^*, \alpha^*, \beta^*) = f(w^*) + \sum\limits_{i = 1}^K\alpha_ig_i(w^*) + \sum\limits_{i = 1}^M \beta^*_i h_i(w^*) θ(α∗,β∗)=inf{ L(w,α∗,β∗)}≤L(w∗,α∗,β∗)=f(w∗)+i=1∑K​αi​gi​(w∗)+i=1∑M​βi∗​hi​(w∗)

因为 ${\alpha }_i\ge 0$ 并且 $g_i(w^{\ast })\le 0$ 所以 $\sum _{i=1}^K{\alpha }_i{g}_i(w^{\ast })\le 0$，因为$h_i(w^{\ast })=0$ 所以 $\sum _{i=1}^M{\beta }_i^{\ast }{h}_i(w^{\ast })=0$

可得：$f(w^{\ast })+\sum _{i=1}^K{\alpha }_i{g}_i(w^{\ast })+\sum _{i=1}^M{\beta }_i^{\ast }{h}_i(w^{\ast })\le f(w^{\ast })$

定义：$G=f(w^{\ast })-\theta ({\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast })\ge 0$

$G$称为原问题与对偶问题的间距。对于某些特定的优化问题，可以证明$G=0$

强对偶定理

若$f(w)$为凸函数，且$g(w)=Aw+b,h(w)=cw+d$，则此优化问题的原问题与对偶问题间距为0，即：
$$f(w^{\ast })=\theta ({\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast })$$

凸函数的定义：

对于所有的自变量$w_1,w_2$，以及所有的$\lambda \in [0,1]$， 有 $f(\lambda w_1+(1-\lambda )w_2)\le \lambda f(w_1)+(1-\lambda )f(w_2)$

KKT条件

若$f(w^{\ast })=\theta ({\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast })$，则要么${\alpha }^{\ast }=0$ 要么 $g(w^{\ast })=0$

SVM中问题的转化

• 最小化：$\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i$ ， 这是一个凸函数。

• 限制条件：1. $y_i[{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})+b]\ge 1-{\xi }_i$， 2. ${\xi }_i\ge 0$

转化为原问题：

• 最小化：$\frac{1}{2}||]\vec{w}|{|}^2-C\sum _{i=1}^N{\xi }_i$

• 限制条件：1. $1+{\xi }_i-y_i{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})+y_{i}b\le 0$， 2. ${\xi }_i\le 0$

转化为对偶问题

• 最大化：$\theta (\alpha ,\beta )=\inf \frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2-C\sum _{i=1}^N{\xi }_i+\sum _{i=1}^N{\beta }_i{\xi }_i+\sum _{i=1}^N{\alpha }_i[1+{\xi }_i-y_i{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})-y_{i}b]$

（注：这里的$\beta$与$\alpha$都对应着朴实问题中的$\alpha$，因为$\alpha$对应着不等式限制条件，这样写只是便于直观察看）

• 限制条件：1. ${\alpha }_i\ge 0(i=1\sim N)$， 2. ${\beta }_i\ge 0(i=1\sim N)$

我们可以对$L$的各个参数求导，并令其等于0，这样找到的是函数$L$的极值（这里的极值就是最值）情况：

1. $\frac{\partial L}{\partial w}=0=>w-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i\varphi (x_i)=0=>w=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i\varphi (x_i)$
2. $\frac{\partial L}{\partial {\xi }_i}=0=>-C+{\beta }_i+{\alpha }_i=0=>{\beta }_i+{\alpha }_i=C$
3. $\frac{\partial L}{\partial b}=0=>\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$

将以上三个等式带入到$\theta (\alpha ,\beta )$后，可求得最小化$\vec{w},{\xi }_i,b$这三个变量，导入后得：
$$\theta (\alpha ,\beta )=\underset{1}{\underbrace{\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2}}+\underset{2}{\underbrace{\sum _{i=1}^N{\alpha }_i}}+\underset{3}{\underbrace{\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{w}^T\varphi (\vec{x})}}$$
将每一项展开带入得：

1. $\frac{1}{2}||\vec{w}|{|}^2=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i\varphi (\overrightarrow{x_i}))\cdot (\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j\varphi (\overrightarrow{x_j}))=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(\varphi (\overrightarrow{x_i})\varphi (\overrightarrow{x_j}))=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$
2. $\sum _{i=1}^N{\alpha }_i$
3. $-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{w}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})=-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i(\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j\varphi (\overrightarrow{x_j}{)}^T\varphi (\overrightarrow{x_j}))=-\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(\varphi (\overrightarrow{x_i})\varphi (\overrightarrow{x_j}))=-\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$

带入到$\theta (\alpha ,\beta )$化简可得：
$$\theta (\alpha ,\beta )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=i}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$$
此时问题转化为：

• 最大化：$\theta (\alpha ,\beta )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=i}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$

• 限制条件：1. $0\le {\alpha }_i\le C$ ，2. $\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$

限制条件1的推导过程：$\alpha \ge 0,{\beta }_i\ge 0,{\alpha }_i+{\beta }_i=C$

此时我们最需要求解出参数$\vec{\alpha }$即可，可以使用 SMO算法 来求解。

测试流程

设新样本为：$\vec{x}$

已知模型如下：

• 若：${\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})+b\ge 0$， 则 $y=1$

• 若：${\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})+b\le 0$，则 $y=-1$

1. 计算${\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})$

${\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})=\sum _{i=1}^N[\overrightarrow{{\alpha }_i{y}_i\varphi (\stackrel{⃗}{x_i})}{]}^T\varphi (\vec{x})=\sum _{i=1}^N\overrightarrow{{\alpha }_i}{y}_i\varphi (\overrightarrow{x_i})\varphi (\vec{x})=\sum _{i=1}^N\overrightarrow{{\alpha }_i}{y}_{i}K(\overrightarrow{x_i},\vec{x})$

2. 计算 $b$

KKT条件：${\forall }_i=1\sim K$，${\alpha }_i^{\ast }=0$ 或 $g_i(\overrightarrow{w^{\ast }})=0$

（注：${\alpha }_i^{\ast }$ 是与不等式条件组合，因此对应参数${\beta }_i$与${\alpha }_i$）

在SVM中：${\forall }_i=1\sim N$

1. 要么 ${\beta }_i=0$，要么${\xi }_i=0$
2. 要么${\alpha }_i=0$，要么 $1+{\xi }_i-y_i{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})-y_{i}b=0$

这里取 $0<{\alpha }_i<0$，则 ${\beta }_i=C-{\alpha }_i>0$，此时 ${\beta }_i\ne 0$，则 ${\xi }_i=0$，${\alpha }_i\ne 0$，则 $1+{\xi }_i-y_i{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})-y_{i}b=0$。如此，即可算出：

$$b=\frac{1-y_i{\vec{w}}^T\varphi (\overrightarrow{x_i})}{y_i}=\frac{1-y_i\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{y}_{j}K(x_i,y_j)}{y_i}$$

三、SMO算法*（选看）

SMO算法是一个启发式算法，对于SMO算法，其最终要解决的问题为：

$max:\sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\alpha }_j{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})=L(\vec{\alpha })$

条件：$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$

我们要求得所有$\alpha$的值，一个简单的思路是固定其它所有$\alpha$，只单独求一个$\alpha$，直至迭代所有的$\alpha$，但是这样是行不通的，对于限制条件$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$，如果我们一个$\alpha$一个$\alpha$的求，因为固定了其它$\alpha$，则需要求的$\alpha$也是一个已知的数，这是无法求解的。

因此，我们每次求两个变量，如：${\alpha }_1,{\alpha }_2$然后再求${\alpha }_3,{\alpha }_4,\cdots$；

初始变量的时候，我们可以随机取$m$个小值赋给每个$\alpha$

令：$L=max\sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\alpha }_j{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$，且$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$

由于求解每一对$\alpha$的方法是相同的，这里以求${\alpha }_1,{\alpha }_2$为例：

求解参数 ${\alpha }_1{\alpha }_2$

$$\begin{gathered} L({\alpha }_1,{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\sum _{i=3}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}[{\alpha }_1{y}_1{\alpha }_1{y}_{1}K(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_1})+2{\alpha }_1{y}_1{\alpha }_2{y}_{2}K(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2})+2\sum _{i=3}^m{\alpha }_1{y}_1{\alpha }_i{y}_{i}K(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_i})+{\alpha }_2{y}_2{\alpha }_2{y}_{2}K(\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_2}) \\ +2\sum _{i=3}^m{\alpha }_2{y}_2{\alpha }_i{y}_{i}K(\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_i})+\sum _{i=3}^m\sum _{j=3}^m{\alpha }_i{y}_i{\alpha }_j{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})] \end{gathered}$$

定义：$K_{ij}=K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$

由于$\sum _{i=3}^m{\alpha }_i$和 $\sum _{i=3}^m\sum _{j=3}^m{\alpha }_i{y}_i{\alpha }_j{y}_{j}K(\overrightarrow{x_i},\overrightarrow{x_j})$是一个常数项，可以进行省略。由于$y=1$或$y=-1$，因此一定有：$y^2=1$

化简转换得：$L^{‘}({\alpha }_1,{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2-\frac{1}{2}[{\alpha }_1^2{K}_{11}+2{\alpha }_1{y}_1{\alpha }_2{y}_2{K}_{12}+2\sum _{i=3}^m{\alpha }_1{y}_1{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}+{\alpha }_2^2{K}_{22}+2\sum _{i=3}^m{\alpha }_2{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i}]$

因为限制条件：$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$，所以有：${\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2+\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i=0$

令：$\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i=-({\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2)=-C$，则有：${\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2=C$，可得：${\alpha }_1=y_1(C-{\alpha }_2{y}_2)$

将 ${\alpha }_1$带入 $L^{‘}({\alpha }_1,{\alpha }_2)$得：

$L({\alpha }_2)=y_1(C-{\alpha }_2{y}_2)+{\alpha }_2-\frac{1}{2}[(C-{\alpha }_2{y}_2{)}^2{K}_{11}+2(C-{\alpha }_2{y}_2){\alpha }_2{y}_2{K}_{12}+{\alpha }_2^2{K}_{22}+2\sum _{i=3}^m(C-{\alpha }_2{y}_2){\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}+2\sum _{i=3}^m{\alpha }_2{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i}]$

对${\alpha }_2$求导得：

$$\begin{gathered} \frac{\partial L}{\partial {\alpha }_2}=-y_1{y}_2+1-\frac{1}{2}[2(C-{\alpha }_2{y}_2)(-y_2)K_{11}+2C{y}_2{K}_{12}-4{\alpha }_2{K}_{12}+2{\alpha }_2{K}_{22}-2\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}+\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i}] \\ =1-y_1{y}_2+C{y}_2{K}_{11}-{\alpha }_2{K}_{11}-C{y}_2{K}_{12}+2{\alpha }_2{K}_{12}-{\alpha }_2{K}_{22}+\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}-\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i} \end{gathered}$$

令$\frac{\partial L}{\partial {\alpha }_2}=0$，并提取${\alpha }_2$：

$$\begin{gathered} {\alpha }_2^{new}(K_{11}+K_{22}-2K_{12})=1-y_1{y}_2+C{y}_2{K}_{11}-C{y}_2{K}_{12}+\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}-\sum _{i=3}^m{y}_2{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i} \\ =y_2(y_2-y_1+C{K}_{11}-C{K}_{12}-\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}-\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i}) \end{gathered}$$

已知：${\alpha }_1^{old}{y}_1+{\alpha }_2^{old}{y}_2=C$，可以替换公式中的$C$，可得：
$$\begin{gathered} {\alpha }_2^{new}(K_{11}+K_{22}-2K_{12})=y_2(y_2-y_1+{\alpha }_1^{old}{y}_1{K}_{11}+{\alpha }_2^{old}{y}_2{K}_{11}-{\alpha }_1^{old}{y}_1{K}_{12}-{\alpha }_2^{old}{y}_2{K}_{12} \\ +\underset{@1}{\underbrace{f(x_1)-{\alpha }_1^{old}{y}_1{K}_{11}-{\alpha }_2^{old}{y}_2{k}_{12}-b}}-\underset{@2}{\underbrace{f(x_2)+{\alpha }_1^{old}{y}_1{K}_{12}+{\alpha }_2^{old}{y}_2{K}_{22}+b}}) \end{gathered}$$

@1 与 @2的推导过程：

有SVM推论过程有：$\frac{\partial L}{\partial w}=>w=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{x}_i$，所以可得：$f(x)=w^{T}x+b=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{x}_i^{T}x+b$

对于$f(x_1)$，可得公式：$f(x_1)={\alpha }_1{y}_1{x}_1^T{x}_1+{\alpha }_2{y}_2{x}_2^T{x}_1+\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i{x}_i^T{x}_1+b$

从而可以推理出：$\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i{K}_{1i}=f(x_1)-{\alpha }_1{y}_1{K}_{11}-{\alpha }_2{y}_2{K}_{12}-b$

同理：$\sum _{i=3}^m{\alpha }_i{y}_i{K}_{2i}=f(x_2)-{\alpha }_1{y}_1{K}_{12}-{\alpha }_2{y}_2{K}_{22}-b=y_2[f(x_1)-y_1-(f(x_2)-y_2+{\alpha }_2^{old}{y}_2(K_{11}+K_{22}-2K_{12})]$

定义通式

令$f(x_1)-y_1=E_1$，$f(x_2)-y_2=E_2$，$K_{11}+K_{22}-2K_{12}=\eta$

则有：${\alpha }_2^{new}\eta =y_2(E_1-E_2+{\alpha }_2^{old}{y}_2\eta )$，可推出：${\alpha }_2^{new}={\alpha }_2^{old}+\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta }$，这样求出${\alpha }_2^{new}$即可求出${\alpha }_1^{new}$

代码实验

实验一、线性可分

1. 加载数据

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sb
from scipy.io import loadmat

raw_data = loadmat("ex6data1.mat")   # 加载matlab格式的数据集
raw_data

2. 数据可视化

data = pd.DataFrame(raw_data['X'],columns=['X1','X2'])
data['y'] = raw_data['y']

positive = data[data['y'].isin([1])]
negative = data[data['y'].isin([0])]

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.scatter(positive['X1'],positive['X2'],s = 50,marker = 'x',label = 'Positive')
ax.scatter(negative['X1'],negative['X2'],s = 50,marker = 'o',label = 'Negative')
ax.legend()
plt.show()

3. 设定模型

svm.LinearSVC()用于分类问题，svm.LinearSVR()用于回归问题。

svm.LinearSVC()参数讲解：

• C：正则化参数，正则化的强度与 C 成反比，必须严格为正
• loss：定义损失函数，默认为squared_hinge
• max_iter：指定优化算法的最大迭代次数
• dual：指定是使用对偶算法还是原始问题的算法来解决优化问题。当样本数量大于特征数量时，推荐设置为 False
• tol: 指定优化算法的容忍度，用于确定算法何时停止
• random_state: 控制随机数生成的种子，用于数据的随机打乱

from sklearn import svm
svc = svm.LinearSVC(C = 1,loss = 'hinge',max_iter = 10000, dual=True)   #C越大就会趋向分类正确
svc

4. 模型拟合

svc.fit(data[['X1','X2']],data['y'])
svc.score(data[['X1','X2']],data['y'])

5. 增大C的值，重新进行拟合

C的值是用于调整软间隔的，如果C的值过小，则会导致模型过拟合，C的值过大，会导致模型欠拟合。

svc2 = svm.LinearSVC(C =100,loss = 'hinge',max_iter = 50000, dual=True)
svc2.fit(data[['X1','X2']],data['y'])
svc2.score(data[['X1','X2']],data['y'])

6. 对比两个模型的效果

data['SVM 1 Confidence'] = svc.decision_function(data[['X1','X2']])   # 可以表示可信度，颜色越深表示可信度越高，否则可信度越低

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.scatter(data['X1'],data['X2'],s = 50,c = data['SVM 1 Confidence'],cmap = 'seismic')
ax.set_title('SVM (C = 1) Decision Confidence')
plt.show()

data['SVM 2 Confidence'] = svc2.decision_function(data[['X1','X2']])

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.scatter(data['X1'],data['X2'],s = 50,c = data['SVM 2 Confidence'],cmap = 'seismic')
ax.set_title('SVM (C = 100) Decision Confidence')
plt.show()

实验二、线性不可分

1. 定义高斯核函数

def gaussian_kernel(x1,x2,sigma):
    #INPUT：连个维度的值x1，x2，高斯核参数sigma
    #OUTPUT：高斯核函数计算后的值
    #TODO：根据参数和上输入的数据计算高斯核函数
    
    #STEP：计算高斯核函数，这里的输入时向量化
    return np.exp(-(np.sum((x1 - x2)**2)/(2*(sigma**2))))

2. 测试高斯核函数

x1 = np.array([1.0,2.0,1.0])
x2 = np.array([0.0,4.0,-1.0])
sigma = 2

gaussian_kernel(x1,x2,sigma)

3. 加载数据集并进行数据可视化

raw_data = loadmat("ex6data2.mat")

data = pd.DataFrame(raw_data['X'],columns=['X1','X2'])
data['y'] = raw_data['y']

positive = data[data['y'].isin([1])]
negative = data[data['y'].isin([0])]

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.scatter(positive['X1'],positive['X2'],s = 30,marker = 'x',label = 'Positive')
ax.scatter(negative['X1'],negative['X2'],s = 30,marker = 'o',label = 'Negative')
ax.legend()
plt.show()

4. 设定模型

svc = svm.SVC(C = 100,gamma=10,probability=True)
svc

5. 模型拟合

svc.fit(data[['X1','X2']],data['y'])
svc.score(data[['X1','X2']],data['y'])

6. 模型效果展示

data['Probability'] = svc.predict_proba(data[['X1','X2']])[:,0]

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.scatter(data['X1'],data['X2'],s = 30,c = data['Probability'],cmap = 'Reds')
plt.show()

实验三、寻找最优参数

raw_data = loadmat("ex6data3.mat")

X = raw_data['X']
Xval = raw_data['Xval']
y = raw_data['y'].ravel()
yval = raw_data['yval'].ravel()

#设置可选参数
C_values = [0.01,0.03,0.1,0.3,1,3,10,30,100]
gamma_values = [0.01,0.003,0.1,0.3,1,3,10,30,100]
#初始化变量
best_score = 0
best_params = {
    
    'C':None,'gamma':None}

#TODO:寻找SVM模型最优的超参数
#STEP：遍历每一个超参数
for C in C_values:
    for gamma in gamma_values:
        #STEP2：调用SVM包，计算当前参数下的得分
        
        svc = svm.SVC(C = C,gamma = gamma)
        svc.fit(X,y)
        score = svc.score(Xval,yval)
        #STEP3:替换得分最高的超参数组合
        if score > best_score:
            best_score = score
            best_params['C'] = C
            best_params['gamma'] = gamma
            
best_score,best_params

实验四、构建垃圾分类器

1. 加载数据

spam_train = loadmat('spamTrain.mat')
spam_test = loadmat('spamTest.mat')

spam_train

2. 转换数据格式

#TODO:获取训练和测试数据，这里应 注意把标签y矩阵拉直
X = spam_train['X']
Xtest = spam_test['Xtest']
y = spam_train['y'].ravel()
ytest = spam_test['ytest'].ravel()

X.shape,y.shape,Xtest.shape,ytest.shape

3. 设定模型，并拟合

svc = svm.SVC()
svc.fit(X,y)
print('Training accuracy = {0}%'.format(np.round(svc.score(X,y)*100,2)))