一文看懂复数卷积

复数卷积

本文是结合网上的资料和自己的理解所写，若有不对的地方，欢迎批评指正。

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一、简介

如果你去网上搜”复数卷积“很难看到专门讲解复数卷积这一概念的，大概率会搜到复数神经网络。

复数神经网络是出自《Deep Complex Networks》这篇论文，论文地址在下面给出。复数卷积只是复数神经网络中的一部分，但是很少有文章单独讲。

通常的网络都是实数，但是复数神经网络在某些领域具有一些优势，比如复数包含着一些相位信息等，相位信息对于一些领域可能很重要。

如果你想将你的网络改复数网络，其实是有点困难的，因为很多地方需要更改，比如loss、dropout、relu等等，都要改为复数，这个时候你也不知道改复数网络，效果会不会有提升，你可以先尝试改复数卷积，看看有没有效果，在尝试更改复数网络。

论文地址：https://arxiv.org/abs/1705.09792

二、原理

如果想要搞清楚什么是复数卷积，那么先理解一下卷积的概念。

其实卷积很容易理解，我用一个例子来解释什么是卷积。

如果我们有一张5*5的图片，图片中的数字代表该位置的像素值，像素值越大颜色越亮。

在这里插入图片描述

用一个3*3的滤波器进行卷积，更通俗的意义上说，该卷积的卷积核为3。
在这里插入图片描述

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有了图片和滤波器，那么该怎么卷积呢，请看下面的图片。

在这里插入图片描述

如果不了解卷积的计算过程，就可能不太清楚，这些数怎么来的，不用担心，计算过程如下：
在这里插入图片描述

看到这，是不是就对卷积的整个流程很熟悉了呢。

下面介绍复数卷积。

复数的表现形式为： $V_r+jV_i$ ，而实数和复数的不同之处在于，多了一个虚部。

实数卷积有输入和卷积核且均为实数，那复数卷积肯定也有输入和卷积核且也均为复数。

复数卷积的输入和卷积核可以写为：

输入： $V=V_r+jV_i$
卷积核： $K=K_r+jK_i$

它们的计算公式如下：
$K*V=(K_{\mathfrak{r}}+jK_{\mathfrak{i}})*(V_{\mathfrak{r}}+jV_{\mathfrak{i}})=(K_{\mathfrak{r}}*V_{\mathfrak{r}}-K_{\mathfrak{i}}*V_{\mathfrak{i}})+j(K_{\mathfrak{r}}*V_{\mathfrak{i}}+K_{\mathfrak{i}}*V_{\mathfrak{r}})$

注：j*j=-1

如果用一个图来表示，那么可以这样表示

在这里插入图片描述

如果使用一个矩阵来表示，那么可以写成这样。
$(K_{\mathfrak{r}}+jK_{\mathfrak{i}})*(V_{\mathfrak{r}}+jV_{\mathfrak{i}})=\begin{bmatrix}\mathbf{K_r}&-\mathbf{K_i}\\\mathbf{K_i}&\mathbf{K_r}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\mathbf{V_r}\\\mathbf{V_i}\end{bmatrix}$
到这里，复数卷积已经讲完了，你看懂了吗？

如果想要本文的文件，请在公众号“冬天的李同学”回复“2023.9.3”获取。

希望本文对你有帮助。

三、代码实现

def apply_complex(fr, fi, input, dtype = torch.complex64):
    return (fr(input.real)-fi(input.imag)).type(dtype) \
            + 1j*(fr(input.imag)+fi(input.real)).type(dtype)
            
class ComplexConv2d(Module):

    def __init__(self,in_channels, out_channels, kernel_size=3, stride=1, padding = 0,
                 dilation=1, groups=1, bias=True):
        super(ComplexConv2d, self).__init__()
        self.conv_r = Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, stride, padding, dilation, groups, bias)
        self.conv_i = Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, stride, padding, dilation, groups, bias)
        
    def forward(self,input):    
        return apply_complex(self.conv_r, self.conv_i, input)

四、参考资料

1.https://mp.weixin.qq.com/s/y0CN-Q-gjuB-op99SvUCJA

2.https://www.bilibili.com/video/BV1my4y1J715?t=628.5

3.https://blog.csdn.net/qq_38290475/article/details/104630767?

ili.com/video/BV1my4y1J715?t=628.5

3.https://blog.csdn.net/qq_38290475/article/details/104630767?

4.https://mp.weixin.qq.com/s/TsmIZuhLPIgLD7mXl2Ms_A