1 绪论
数字通信: 信源 → \to → 信源编码(压缩+数字化) → \to → 加密 → \to → 信道编码(差错控制+信道复用) → \to → 数字调制(低频到高频) → \to → 信道(噪声+干扰) → \to → 数字解调(高频到低频) → \to → 信道译码(最佳接收) → \to → 解密 → \to → 信源译码 → \to → 信宿; 同步.
信息量: I ( x ) = − log p ( x ) I(x)=-\log p(x) I(x)=−logp(x); 底 2 2 2 为比特(bit), e e e 为奈特(nat), 10 10 10 为哈特莱(Hartley).
信息熵(平均信息量): H ( X ) = − ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) log f ( x ) d x H(X)=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\log f(x)\mathrm{d}x H(X)=−∫−∞+∞f(x)logf(x)dx.
传输速率: 波特率(码元) R B = 1 T B R_B=\frac{1}{T_B} RB=TB1 (Baud); 比特率(信息) R b = R B H R_b=R_BH Rb=RBH ( M M M 进制等概率时) = R B log M =R_B\log M =RBlogM (bps).
带宽利用率: η = R B B \eta=\frac{R_B}{B} η=BRB (Baud/Hz); η b = R b B \eta_b=\frac{R_b}{B} ηb=BRb (bps/Hz).
误码率 P e P_e Pe; 误信率(误比特率) P b P_b Pb; 2 2 2 进制时 P b = P e P_b=P_e Pb=Pe; M > 2 M>2 M>2 进制时 P b < P e P_b<P_e Pb<Pe.
2 确知信号
确知信号 s ( t ) s(t) s(t).
能量 E = ∫ − ∞ + ∞ s 2 ( t ) d t E=\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)\mathrm{d}t E=∫−∞+∞s2(t)dt; 平均功率 P = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s 2 ( t ) d t P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)\mathrm{d}t P=limT→∞T1∫−2T2Ts2(t)dt.
能量信号: 0 < E < + ∞ 0<E<+\infty 0<E<+∞ 即 P = 0 P=0 P=0.
功率信号: 0 < P < + ∞ 0<P<+\infty 0<P<+∞ 即 E → + ∞ E\to+\infty E→+∞.
周期信号: s ( t ) = s ( t + T ) s(t)=s(t+T) s(t)=s(t+T); 必为功率信号.
功率信号: s ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ C n e 2 π j n f t , f = 1 T s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{2\pi jnft},\ f=\frac{1}{T} s(t)=∑n=−∞+∞Cne2πjnft, f=T1; Fourier 级数.
离散频谱: C n = e − 2 π j n f t s ( t ) − ∑ m ≠ n e 2 π j ( m − n ) f t ⟹ C n = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π j n f t s ( t ) d t C_n=e^{-2\pi jnft}s(t)-\sum_{m\ne n}e^{2\pi j(m-n)ft}\implies C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi jnft}s(t)\mathrm{d}t Cn=e−2πjnfts(t)−∑m=ne2πj(m−n)ft⟹Cn=T1∫−2T2Te−2πjnfts(t)dt; 单位 V.
C ( n f ) : = C n C(nf):=C_n C(nf):=Cn 为复振幅, 模长为振幅, 角度为初相; f f f 为基频, n f nf nf 为谐频.
特别为物理可实现信号(实信号)时: C − n = C n ∗ C_{-n}=C_n^* C−n=Cn∗, 即振幅谱为偶函数, 相位谱为奇函数.
由欧拉公式可得单边谱 s ( t ) = [ C 0 + ∑ i = 1 ∞ ( C n + C n ∗ ) cos ( 2 π n f t ) ] + j [ ∑ i = 1 ∞ ( C n − C n ∗ ) sin ( 2 π n f t ) ] = a 0 2 + ∑ i = 1 ∞ [ a n 2 + b n 2 cos ( 2 π n f t + θ n ) ] s(t)=[C_0+\sum_{i=1}^\infty(C_n+C_n^*)\cos(2\pi nft)]+j[\sum_{i=1}^\infty(C_n-C_n^*)\sin(2\pi nft)]=\frac{a_0}{2}+\sum_{i=1}^\infty[\sqrt{a_n^2+b_n^2}\cos(2\pi nft+\theta_n)] s(t)=[C0+∑i=1∞(Cn+Cn∗)cos(2πnft)]+j[∑i=1∞(Cn−Cn∗)sin(2πnft)]=2a0+∑i=1∞[an2+bn2cos(2πnft+θn)]; 不妨设 C n = 1 2 ( a n − j b n ) C_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) Cn=21(an−jbn), 其中初相 θ n = − arctan ( b n / a n ) \theta_n=-\arctan(b_n/a_n) θn=−arctan(bn/an), 振幅 a n 2 + b n 2 = 2 ∣ C n ∣ \sqrt{a_n^2+b_n^2}=2|C_n| an2+bn2=2∣Cn∣.
特别为实偶信号时 C n = 1 2 a n C_n=\frac{1}{2}a_n Cn=21an 为实函数.
能量信号: s ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ S ( f ) e 2 π j f t d f s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}S(f)e^{2\pi jft}\mathrm{d}f s(t)=∫−∞+∞S(f)e2πjftdf; Fourier 逆变换, 记 s ( t ) ↔ S ( f ) s(t)\leftrightarrow S(f) s(t)↔S(f) 或 s ( t ) ↔ S ( ω ) , ω = 2 π f s(t)\leftrightarrow S(\omega),\omega=2\pi f s(t)↔S(ω),ω=2πf.
连续频谱/频谱密度 S ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ s ( t ) e − 2 π j f t d t S(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-2\pi jft}\mathrm{d}t S(f)=∫−∞+∞s(t)e−2πjftdt; Fourier 变换; 单位 V/Hz.
类似有 S ( f ) = [ S ( − f ) ] ∗ S(f)=[S(-f)]^* S(f)=[S(−f)]∗, 即振幅谱为偶函数, 相位谱为奇函数.
冲激信号: ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1 ∫−∞+∞δ(t)dt=1, δ ( t ) = 0 ( t ≠ 0 ) \delta(t)=0\ (t\ne 0) δ(t)=0 (t=0); Δ ( f ) = 1 \Delta(f)=1 Δ(f)=1.
单位阶跃函数: u ( t ) = 0 , t < 0 ; 1 , t ≥ 0 u(t)=0,\ t<0;\ 1,\ t\geq 0 u(t)=0, t<0; 1, t≥0; u ′ ( t ) = δ ( t ) u'(t)=\delta(t) u′(t)=δ(t).
抽样函数: f ( t 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t f(t_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)\mathrm{d}t f(t0)=∫−∞+∞f(t)δ(t−t0)dt, 其中 f ( t ) f(t) f(t) 在 t 0 t_0 t0 处连续.
采样函数: S a ( t ) = s i n c ( t ) = sin t t {\rm Sa}(t)={\rm sinc}(t)=\frac{\sin t}{t} Sa(t)=sinc(t)=tsint; δ ( t ) = lim t → ∞ k π S a ( k t ) \delta(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{k}{\pi}{\rm Sa}(kt) δ(t)=limt→∞πkSa(kt).
引入冲激信号可将频谱密度推广到功率信号.
能量谱密度: G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 G(f)=|S(f)|^2 G(f)=∣S(f)∣2.
Parseval: E = ∫ − ∞ + ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ G ( f ) d f E=\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}G(f)\mathrm{d}f E=∫−∞+∞s2(t)dt=∫−∞+∞G(f)df, 即能量守恒.
特别为实信号时 E = 2 ∫ 0 + ∞ G ( f ) d f E=2\int_0^{+\infty}G(f)\mathrm{d}f E=2∫0+∞G(f)df.
自相关函数: R ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=∫−∞+∞s(t)s(t+τ)dt; 显然 R ( − τ ) = R ( τ ) R(-\tau)=R(\tau) R(−τ)=R(τ), R ( 0 ) = E R(0)=E R(0)=E.
R ( τ ) ↔ S ( f ) S ( − f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 R(\tau)\leftrightarrow S(f)S(-f)=|S(f)|^2 R(τ)↔S(f)S(−f)=∣S(f)∣2.
互相关函数: R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}s_1(t)s_2(t+\tau)\mathrm{d}t R12(τ)=∫−∞+∞s1(t)s2(t+τ)dt; 显然 R 21 ( τ ) = R 12 ( − τ ) R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21(τ)=R12(−τ).
R 12 ( τ ) ↔ S 1 ∗ ( f ) S 2 ( f ) = S 12 ( f ) R_{12}(\tau)\leftrightarrow S_1^*(f)S_2(f)=S_{12}(f) R12(τ)↔S1∗(f)S2(f)=S12(f); S 12 ( f ) S_{12}(f) S12(f) 为互能量谱密度.
功率谱密度: P ( f ) = lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}|S_T(f)|^2 P(f)=limT→∞T1∣ST(f)∣2, ∣ S T ( f ) ∣ 2 |S_T(f)|^2 ∣ST(f)∣2 为截短信号(一个周期)能量谱密度.
功率: P = ∫ − ∞ + ∞ P ( f ) d f P=\int_{-\infty}^{+\infty}P(f)\mathrm{d}f P=∫−∞+∞P(f)df.
特别为周期信号时 P = ∑ − ∞ + ∞ ∣ C n ∣ 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) d f P=\sum_{-\infty}^{+\infty}|C_n|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|C(f)|^2\delta(f-nf_0)\mathrm{d}f P=∑−∞+∞∣Cn∣2=∫−∞+∞∑n=−∞+∞∣C(f)∣2δ(f−nf0)df; 即 P ( f ) = ∑ n = − ∞ + ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) P(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|C(f)|^2\delta(f-nf_0) P(f)=∑n=−∞+∞∣C(f)∣2δ(f−nf0).
自相关函数: R ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}s(t)s(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=limT→∞T1∫−2T2Ts(t)s(t+τ)dt; 显然 R ( 0 ) = P R(0)=P R(0)=P.
特别为周期信号时 R ( τ ) ↔ P ( f ) R(\tau)\leftrightarrow P(f) R(τ)↔P(f).
互相关函数: R 12 ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2}s_1(t)s_2(t+\tau)\mathrm{d}t R12(τ)=limT→∞T1∫−2T2Ts1(t)s2(t+τ)dt; 显然 R 21 ( τ ) = R 12 ( − τ ) R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21(τ)=R12(−τ).
特别为同周期的周期信号时 R 12 ( τ ) = ∑ − ∞ + ∞ [ ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 ] e 2 π j f 0 τ = ∑ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ C 12 ( f ) δ ( f − n f 0 ) e 2 π j f 0 τ d f R_{12}(\tau)=\sum_{-\infty}^{+\infty}[(C_n)_1^*(C_n)_2]e^{2\pi jf_0\tau}=\sum_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}C_{12}(f)\delta(f-nf_0)e^{2\pi jf_0\tau}\mathrm{d}f R12(τ)=∑−∞+∞[(Cn)1∗(Cn)2]e2πjf0τ=∑−∞+∞∫−∞+∞C12(f)δ(f−nf0)e2πjf0τdf; C 12 C_{12} C12 称为互功率谱.
| f ( t ) f(t) f(t) | F ( ω ) F(\omega) F(ω) | f ( t ) f(t) f(t) | F ( ω ) F(\omega) F(ω) |
|---|---|---|---|
| δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | r e c t ( t τ ) {\rm rect}(\frac{t}{\tau}) rect(τt) | τ S a ( ω τ 2 ) \tau{\rm Sa}(\frac{\omega\tau}{2}) τSa(2ωτ) |
| 1 1 1 | 2 π δ ( ω ) 2\pi\delta(\omega) 2πδ(ω) | W 2 π S a ( W t 2 ) \frac{W}{2\pi}{\rm Sa}(\frac{Wt}{2}) 2πWSa(2Wt) | r e c t ( ω W ) {\rm rect}(\frac{\omega}{W}) rect(Wω) |
| e j ω 0 t e^{j\omega_0t} ejω0t | 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2\pi\delta(\omega-\omega_0) 2πδ(ω−ω0) | cos ( ω 0 t ) \cos(\omega_0t) cos(ω0t) | π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)] |
| s g n ( t ) {\rm sgn}(t) sgn(t) | 2 j ω \frac{2}{j\omega} jω2 | sin ( ω 0 t ) \sin(\omega_0t) sin(ω0t) | π j [ δ ( ω + ω 0 ) − δ ( ω + ω 0 ) ] \pi j[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)] πj[δ(ω+ω0)−δ(ω+ω0)] |
| j π t \frac{j}{\pi t} πtj | s g n ( ω ) {\rm sgn}(\omega) sgn(ω) | e − α ∣ t ∣ e^{-\alpha|t|} e−α∣t∣ | 2 α α 2 + ω 2 \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} α2+ω22α |
| u ( t ) u(t) u(t) | π δ ( ω ) + 1 j ω \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} πδ(ω)+jω1 | u ( t ) e − α t u(t)e^{-\alpha t} u(t)e−αt | 1 α + j ω \frac{1}{\alpha+j\omega} α+jω1 |
| δ T ( t ) = ∑ − ∞ + ∞ δ ( t − n T 0 ) \delta_T(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_0) δT(t)=∑−∞+∞δ(t−nT0) | ω 0 ∑ − ∞ + ∞ δ ( ω − n ω 0 ) \omega_0\sum_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_0) ω0∑−∞+∞δ(ω−nω0) | u ( t ) t e − α t u(t)te^{-\alpha t} u(t)te−αt | 1 ( α + j ω ) 2 \frac{1}{(\alpha+j\omega)^2} (α+jω)21 |
| A t 0 ( t 0 2 − ∣ τ ∣ ) \frac{A}{t_0}(t_0^2-|\tau|) t0A(t02−∣τ∣) | A t 0 S a 2 ω t 0 2 At_0{\rm Sa}^2\frac{\omega t_0}{2} At0Sa22ωt0 |
卷积定理: f ( t ) ↔ F ( ω ) f(t)\leftrightarrow F(\omega) f(t)↔F(ω), g ( t ) ↔ G ( ω ) ⟹ f ( t ) ∗ g ( t ) ↔ F ( ω ) G ( ω ) g(t)\leftrightarrow G(\omega)\implies f(t)*g(t)\leftrightarrow F(\omega)G(\omega) g(t)↔G(ω)⟹f(t)∗g(t)↔F(ω)G(ω), f ( t ) g ( t ) ↔ 1 2 π F ( ω ) ∗ G ( ω ) f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega) f(t)g(t)↔2π1F(ω)∗G(ω).
3 随机过程
随机过程: 样本函数的集合; 随机变量的时间函数.
n n n 维分布函数: F n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) = P { { ξ ( t i ) ≤ x i } i = 1 n } F_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)=P\{\{\xi(t_i)\leq x_i\}_{i=1}^n\} Fn({
x1}i=1n; {
ti}t=1n)=P{
{
ξ(ti)≤xi}i=1n}.
n n n 维概率密度函数: f n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) = ∂ F n ( { x 1 } i = 1 n ; { t i } t = 1 n ) ∏ i = 1 n ∂ x i f_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)=\frac{\partial F_n(\{x_1\}_{i=1}^n;\ \{t_i\}_{t=1}^n)}{\prod_{i=1}^n\partial x_i} fn({
x1}i=1n; {
ti}t=1n)=∏i=1n∂xi∂Fn({
x1}i=1n; {
ti}t=1n).
数学期望(统计平均): E [ ξ ( t ) ] : = ∫ − ∞ + ∞ x f 1 ( x , t ) d x : = a ( t ) E[\xi(t)]:=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_1(x,t)\mathrm{d}x:=a(t) E[ξ(t)]:=∫−∞+∞xf1(x,t)dx:=a(t).
方差: D [ ξ ( t ) ] : = E [ ξ ( t ) − a ( t ) ] 2 = E [ ξ 2 ( t ) ] − a 2 ( t ) D[\xi(t)]:=E[\xi(t)-a(t)]^2=E[\xi^2(t)]-a^2(t) D[ξ(t)]:=E[ξ(t)−a(t)]2=E[ξ2(t)]−a2(t).
相关函数: R ξ η ( t 1 , t 2 ) : = E [ ξ ( t 1 ) η ( t 2 ) ] R_{\xi\eta}(t_1,t_2):=E[\xi(t_1)\eta(t_2)] Rξη(t1,t2):=E[ξ(t1)η(t2)].
协方差: B ( t 1 , t 2 ) : = E [ ξ ( t 1 ) − a ( t 1 ) ] [ ξ ( t 2 ) − a ( t 2 ) ] = R ( t 1 , t 2 ) − a ( t 1 ) a ( t 2 ) B(t_1,t_2):=E[\xi(t_1)-a(t_1)][\xi(t_2)-a(t_2)]=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2) B(t1,t2):=E[ξ(t1)−a(t1)][ξ(t2)−a(t2)]=R(t1,t2)−a(t1)a(t2).
狭义平稳随机过程: 一维概率密度函数时间无关 f 1 ( x 1 , t 1 ) = f 1 ( x 1 ) f_1(x_1,t_1)=f_1(x_1) f1(x1,t1)=f1(x1), 二维分布函数只与时间间隔有关 F 2 ( x 1 , x 2 ; t 1 , t 2 ) = f 1 ( x 1 , x 2 ; τ : = t 2 − t 1 ) F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_1(x_1,x_2;\tau:=t_2-t_1) F2(x1,x2;t1,t2)=f1(x1,x2;τ:=t2−t1).
(广义)平稳随机过程: 均值与时间无关 E [ ξ ( t ) ] = a E[\xi(t)]=a E[ξ(t)]=a, 自相关函数只与时间间隔有关 R ( t 1 , t 2 ) = R ( τ ) R(t_1,t_2)=R(\tau) R(t1,t2)=R(τ).
各态历经性(遍历性): 随机过程任意实现都经历了所有可能状态; 即平稳随机过程还满足时间平均等于统计平均 a = a ˉ : = x ( t ) ‾ : = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) d t a=\bar{a}:=\overline{x(t)}:=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\mathrm{d}t a=aˉ:=x(t):=limT→∞T1∫−2T2Tx(t)dt, R ( τ ) = R ( τ ) ‾ : = x ( t ) x ( t + τ ) ‾ : = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau)=\overline{R(\tau)}:=\overline{x(t)x(t+\tau)}:=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau)\mathrm{d}t R(τ)=R(τ):=x(t)x(t+τ):=limT→∞T1∫−2T2Tx(t)x(t+τ)dt.
自相关函数: R ( τ ) = E [ ξ ( t ) ξ ( t + ξ ) ] R(\tau)=E[\xi(t)\xi(t+\xi)] R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+ξ)]; 显然 R ( τ ) = R ( − τ ) R(\tau)=R(-\tau) R(τ)=R(−τ).
∣ R ( τ ) ∣ ≤ R ( 0 ) = E [ ξ 2 ( t ) ] |R(\tau)|\leq R(0)=E[\xi^2(t)] ∣R(τ)∣≤R(0)=E[ξ2(t)] 平均功率和上界; R ( ∞ ) = E 2 [ ξ ( t ) ] = a 2 R(\infty)=E^2[\xi(t)]=a^2 R(∞)=E2[ξ(t)]=a2 直流功率; R ( 0 ) − R ( ∞ ) = σ 2 R(0)-R(\infty)=\sigma^2 R(0)−R(∞)=σ2 交流功率(方差).
功率谱密度: 所有样本功率谱的统计平均 P ξ ( f ) : = E [ P f ( f ) ] = lim T → ∞ E [ F T ( f ) ] 2 T P_\xi(f):=E[P_f(f)]=\lim_{T\to\infty}\frac{E[F_T(f)]^2}{T} Pξ(f):=E[Pf(f)]=limT→∞TE[FT(f)]2; 显然 P ξ ( f ) ≥ 0 P_\xi(f)\geq 0 Pξ(f)≥0, P ξ ( − f ) = P ξ ( f ) P_\xi(-f)=P_\xi(f) Pξ(−f)=Pξ(f), R ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ P ξ ( f ) d f R(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}P_\xi(f)\mathrm{d}f R(0)=∫−∞+∞Pξ(f)df.
Wiener-Khinchine: R ( τ ) ↔ P ξ ( f ) R(\tau)\leftrightarrow P_\xi(f) R(τ)↔Pξ(f).
Gauss 随机过程: n n n 维分布只依赖于各项均值, 方差, 归一化协方差; 广义平稳时狭义平稳; 不同时刻不相关时统计独立; 线性变换后仍为 Gauss 过程.
Gauss 随机变量: f ( x ) = 1 2 π σ exp { − ( x − a ) 2 2 σ 2 } f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\} f(x)=2πσ1exp{
−2σ2(x−a)2}; f ( a + x ) = f ( a − x ) f(a+x)=f(a-x) f(a+x)=f(a−x); ∫ − ∞ a f ( x ) d x = ∫ a + ∞ f ( x ) d x = 1 2 \int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2} ∫−∞af(x)dx=∫a+∞f(x)dx=21.
误差函数: e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\rm erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\mathrm{d}t erf(x)=π2∫0xe−t2dt; e r f ( 0 ) = 0 {\rm erf}(0)=0 erf(0)=0, e r f ( + ∞ ) = 1 {\rm erf}(+\infty)=1 erf(+∞)=1, e r f ( − x ) = − e r f ( x ) {\rm erf}(-x)=-{\rm erf}(x) erf(−x)=−erf(x).
Gauss 分布: F ( x ) = 1 2 + 1 2 e r f ( x − a 2 σ ) F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\rm erf}(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}) F(x)=21+21erf(2σx−a).
| 线性系统 | 输入 | 输出 |
|---|---|---|
| 时域 | ν i ( t ) \nu_i(t) νi(t) | 卷积 ν o ( t ) = ν i ( t ) ∗ h ( t ) : = ∫ − ∞ + ∞ ν i ( τ ) h ( t − τ ) d τ \nu_o(t)=\nu_i(t)*h(t):=\int_{-\infty}^{+\infty}\nu_i(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau νo(t)=νi(t)∗h(t):=∫−∞+∞νi(τ)h(t−τ)dτ h ( t ) h(t) h(t) 为单位冲激响应(线性时不变) |
| 频域 | V i ( f ) V_i(f) Vi(f) | V o ( f ) = H ( f ) V i ( f ) V_o(f)=H(f)V_i(f) Vo(f)=H(f)Vi(f) H ( f ) H(f) H(f) 为频率响应 |
| 概率分布 | 平稳/高斯 | 平稳/高斯 |
| 数学期望 | E [ ξ i ( t ) ] = a E[\xi_i(t)]=a E[ξi(t)]=a | E [ ξ 0 ( t ) ] = a H ( 0 ) E[\xi_0(t)]=aH(0) E[ξ0(t)]=aH(0) H ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) d τ H(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\mathrm{d}\tau H(0)=∫−∞+∞h(τ)dτ 为直流增益 |
| 自相关函数 | R i ( τ ) R_i(\tau) Ri(τ) | R o ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ h ( α ) h ( β ) R i ( τ + α − β ) d α d β R_o(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\alpha)h(\beta)R_i(\tau+\alpha-\beta)\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta Ro(τ)=∫−∞+∞∫−∞+∞h(α)h(β)Ri(τ+α−β)dαdβ |
| 功率谱密度 | P i ( f ) P_i(f) Pi(f) | P o ( f ) = ∣ H ( f ) ∣ 2 P i ( f ) P_o(f)=|H(f)|^2P_i(f) Po(f)=∣H(f)∣2Pi(f) |
窄带随机过程: Δ f ≪ f c \Delta f\ll f_c Δf≪fc, f c ≫ 0 f_c\gg 0 fc≫0; 可视为包络和相位随机缓变的正弦波, 即 ξ ( t ) = a ξ ( t ) cos [ ω c t + φ ξ ( t ) ] \xi(t)=a_\xi(t)\cos[\omega_c t+\varphi_\xi(t)] ξ(t)=aξ(t)cos[ωct+φξ(t)], 其中 a ξ ( t ) > 0 a_\xi(t)>0 aξ(t)>0 为随机包络, φ ξ ( t ) \varphi_\xi(t) φξ(t) 为随机相位, ω c \omega_c ωc 为正弦波中心角频率; 展开后 ξ ( t ) = ξ c ( t ) cos ω c t − ξ s ( t ) sin ω c t \xi(t)=\xi_c(t)\cos\omega_c t-\xi_s(t)\sin\omega_c t ξ(t)=ξc(t)cosωct−ξs(t)sinωct, 其中 ξ c ( t ) = a ξ ( t ) cos φ ξ ( t ) \xi_c(t)=a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t) ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) 为同向分量, ξ s ( t ) = a ξ ( t ) sin φ ξ ( t ) \xi_s(t)=a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t) ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t) 为正交分量.
特别为 Gauss 平稳随机过程时, 同向分量和正交分量也为高斯平稳随机过程; 进一步均值为 0 0 0 时, 同向分量和正交分量独立同分布且均值为 0 0 0.
由 Jaccobi 行列式可知, 包络一维分布为 Rayleigh 分布 f ( a ξ ) = a ξ σ ξ 2 exp { − a ξ 2 2 σ ξ 2 } ( a ξ ≥ 0 ) f(a_\xi)=\frac{a_\xi}{\sigma_\xi^2}\exp\{-\frac{a_\xi^2}{2\sigma_\xi^2}\}\ (a_\xi\geq 0) f(aξ)=σξ2aξexp{
−2σξ2aξ2} (aξ≥0), 相位一维分布为均匀分布 f ( φ ξ ) = 1 2 π ( 0 ≤ φ ξ ≤ 2 π ) f(\varphi_\xi)=\frac{1}{2\pi}\ (0\leq\varphi_\xi\leq 2\pi) f(φξ)=2π1 (0≤φξ≤2π), 统计独立.
正弦波加窄带 Gauss 噪声: r ( t ) = A cos ( ω c t + θ ) + n ( t ) r(t)=A\cos(\omega_c t+\theta)+n(t) r(t)=Acos(ωct+θ)+n(t); 类似地 r ( t ) = z c ( t ) cos ω c t − z s ( t ) sin ω c t r(t)=z_c(t)\cos\omega_c t-z_s(t)\sin\omega_c t r(t)=zc(t)cosωct−zs(t)sinωct, 其中 z c ( t ) = A cos θ + n c ( t ) z_c(t)=A\cos\theta+n_c(t) zc(t)=Acosθ+nc(t), z s ( t ) = A sin θ + n s ( t ) z_s(t)=A\sin\theta+n_s(t) zs(t)=Asinθ+ns(t), 包络 z ( t ) = z c 2 ( t ) + z s 2 ( t ) z(t)=\sqrt{z_c^2(t)+z_s^2(t)} z(t)=zc2(t)+zs2(t).
包络一维分布为广义 Rayleigh 分布 (即 Rice 分布) f ( z ) = z σ n 2 exp { − 1 2 σ n 2 ( z 2 + A 2 ) } I 0 ( A z σ n 2 ) f(z)=\frac{z}{\sigma_n^2}\exp\{-\frac{1}{2\sigma_n^2}(z^2+A^2)\}I_0(\frac{Az}{\sigma_n^2}) f(z)=σn2zexp{
−2σn21(z2+A2)}I0(σn2Az); 其中 I 0 ( x ) I_0(x) I0(x) 为 Bessel 函数, x ≥ 0 x\geq 0 x≥0 时单调递增且 I 0 ( 0 ) = 1 I_0(0)=1 I0(0)=1.
A → 0 A\to 0 A→0 即信噪比 γ = A 2 2 σ ξ 2 → 0 \gamma=\frac{A^2}{2\sigma_\xi^2}\to 0 γ=2σξ2A2→0 时 f ( z ) f(z) f(z) 退化为 Rayleigh 分布.
信噪比 γ \gamma γ 较大时 f ( z ) f(z) f(z) 近似为 Gauss 分布.
白噪声: 功率谱密度服从均匀分布; P ξ ( ω ) = n 0 2 P_\xi(\omega)=\frac{n_0}{2} Pξ(ω)=2n0, R τ = n 0 2 δ ( t ) R_{\tau}=\frac{n_0}{2}\delta(t) Rτ=2n0δ(t); 统计独立, 即仅在 τ = 0 \tau=0 τ=0 时相关.
Gauss 白噪声: 白噪声概率分布为 Gauss 分布; 不同时刻上互不相关且统计独立.
低通 (lowpass) 白噪声: P n ( f ) = n 0 2 ( ∣ f ∣ ≤ f H ) P_n(f)=\frac{n_0}{2}\ (|f|\leq f_H) Pn(f)=2n0 (∣f∣≤fH); R ( τ ) = n 0 f H S a ( 2 π f H τ ) R(\tau)=n_0f_H{\rm Sa}(2\pi f_H\tau) R(τ)=n0fHSa(2πfHτ).
理想带通 (bandpass) 白噪声: P n ( f ) = n 0 2 ( f c − B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 ) P_n(f)=\frac{n_0}{2}\ (f_c-\frac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\frac{B}{2}) Pn(f)=2n0 (fc−2B≤∣f∣≤fc+2B); H ( f ) = 1 ( f c − B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 ) H(f)=1\ (f_c-\frac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\frac{B}{2}) H(f)=1 (fc−2B≤∣f∣≤fc+2B); R ( τ ) = n 0 B S a ( π B τ ) cos 2 π f c τ R(\tau)=n_0B{\rm Sa}(\pi B\tau)\cos 2\pi f_c\tau R(τ)=n0BSa(πBτ)cos2πfcτ.
正弦波加窄带 Gauss 白噪声 (理想带通白噪声): 平均功率 N : = P [ n ( t ) ] = n 0 B N:=P[n(t)]=n_0B N:=P[n(t)]=n0B, 其中 B B B 为噪声等效带通.
4 信道
无线信道: 利用电磁波.
地波: 低频(2MHz 以下); 绕射.
天波: 高频(2MHz~30MHz); 电离层反射; 有无法到达的寂静区.
视线: 超高频(30MHz 以上); 穿透电离层; h = D 2 8 r ≈ D 2 50 h=\frac{D^2}{8r}\approx\frac{D^2}{50} h=8rD2≈50D2.
增加视线传播距离途径: 微波中继; 卫星中继; 电离层散射; 对流层散射; 流星余迹散射.
接收功率: P R = λ 2 P T G T G R 16 π 2 d 2 P_R=\frac{\lambda^2P_TG_TG_R}{16\pi^2d^2} PR=16π2d2λ2PTGTGR, 其中 P r P_r Pr 为发射功率, G T G_T GT 为发射天线增益, G R G_R GR 为接收天线增益, d d d 为传播距离, λ \lambda λ 为波长(m).
传播损耗: L f r = P T P R = 16 π 2 d 2 λ 2 G T G R L_{fr}=\frac{P_T}{P_R}=\frac{16\pi^2d^2}{\lambda^2G_TG_R} Lfr=PRPT=λ2GTGR16π2d2; 发射功率与接收功率之比.
| 有线信道 | 组成 | 优点 | 缺点 | 分类 | 应用 |
|---|---|---|---|---|---|
| 对称电缆(双绞线) | 每对呈纽绞状, 以减小线对相互干扰 | 便宜 | 传输衰减大, 传输距离短; 邻道间有串话干扰 | UTP (非屏蔽); STP(屏蔽) | 电话线路, 局域网, 综合布线工程 |
| 同轴电缆 | 同轴的两个导体, 内芯为金属导线, 外导体为金属编织网 | 抗电磁干扰能力强, 带宽更宽, 速率更高 | 成本较高 | 基带 (50 Ω \Omega Ω, 数字信号); 带宽 (75 Ω \Omega Ω, 模拟信号) | 非主干线路 |
| 光纤 | 纤芯和包层 | 带宽大, 容量大; 衰减小, 距离远; 抗电磁干扰, 质量好, 防窃听, 耐腐蚀; 体积小, 重量轻, 环保 | 易碎, 接口昂贵, 安装维护成本 | 阶跃型, 梯度型; 单模, 多模 | 主干线路 |
调制信道: e 0 ( t ) = f [ e i ( t ) ] + n ( t ) e_0(t)=f[e_i(t)]+n(t) e0(t)=f[ei(t)]+n(t); 其中 n ( t ) n(t) n(t) 为加性噪声或干扰; f [ e i ( t ) ] = k ( t ) ∗ e i ( t ) f[e_i(t)]=k(t)*e_i(t) f[ei(t)]=k(t)∗ei(t), k ( t ) k(t) k(t) 为乘性干扰; H ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e φ ( ω ) j H(\omega)=|H(\omega)|e^{\varphi(\omega)j} H(ω)=∣H(ω)∣eφ(ω)j, ∣ H ( ω ) ∣ |H(\omega)| ∣H(ω)∣ 为幅频特性, φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω) 为相频特性.
恒惨信道: 传输特性随时间不变或缓变; 无失真时, ∣ H ( ω ) ∣ = K |H(\omega)|=K ∣H(ω)∣=K 为固定衰减, φ ( ω ) = t d ω \varphi(\omega)=t_d\omega φ(ω)=tdω 为固定时延, 群时延 τ ( ω ) = d ϕ ( ω ) d ω = t d \tau(\omega)=\frac{\mathrm{d}\phi(\omega)}{\mathrm{d}\omega}=t_d τ(ω)=dωdϕ(ω)=td; 冲激响应 h ( t ) = K δ ( t − t d ) h(t)=K\delta(t-t_d) h(t)=Kδ(t−td).
频幅失真: 波形失真 → \to → 信噪比 S N = S n 0 B {\rm SN}=\frac{S}{n_0B} SN=n0BS 下降, 信道容量减小; 码间串扰 → \to → 误码率增大.
相频失真: 视频信号影响大, 语音信号影响小; 码间串扰 → \to → 误码率增大.
随参信道: 传输特性随时间随机快变; 衰减随时间变化, 时延随时间变化; 多径传播(接收合成) → \to → Rayleigh 型衰落(包络缓变), 频率弥散, 频率选择性衰落.
A cos ω 0 t → R ( t ) = X c ( t ) cos ω 0 t − X s ( t ) sin ω 0 t = V ( t ) cos [ ω 0 t + φ ( t ) ] A\cos\omega_0 t\to R(t)=X_c(t)\cos\omega_0 t-X_s(t)\sin\omega_0 t=V(t)\cos[\omega_0 t+\varphi(t)] Acosω0t→R(t)=Xc(t)cosω0t−Xs(t)sinω0t=V(t)cos[ω0t+φ(t)].
减小选择性衰落: Δ f = 1 τ m \Delta f=\frac{1}{\tau_m} Δf=τm1; 带宽 B s = ( 1 3 ∼ 1 5 ) Δ f B_s=(\frac{1}{3}\sim\frac{1}{5})\Delta f Bs=(31∼51)Δf, 即码元宽度 T s = ( 3 ∼ 5 ) τ m T_s=(3\sim 5)\tau_m Ts=(3∼5)τm.
编码信道: 二进制无记忆; 转移概率; P ( 0 / 0 ) = 1 − P ( 1 / 0 ) P(0/0)=1-P(1/0) P(0/0)=1−P(1/0), P ( 1 / 1 ) = 1 − P ( 0 / 1 ) P(1/1)=1-P(0/1) P(1/1)=1−P(0/1); P e = P ( 0 ) P ( 1 / 0 ) + P ( 1 ) P ( 0 / 1 ) P_e=P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1) Pe=P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1).
信道加性噪声 n ( t ) n(t) n(t): Gauss 白噪声; P n ( f ) = n 0 2 P_n(f)=\frac{n_0}{2} Pn(f)=2n0, R n ( τ ) = n 0 2 δ ( t ) R_n(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(t) Rn(τ)=2n0δ(t), f n ( ν ) = 1 2 π σ n exp { − ν 2 2 σ n 2 } f_n(\nu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\{-\frac{\nu^2}{2\sigma_n^2}\} fn(ν)=2πσn1exp{
−2σn2ν2}.
热噪声: 电阻性元器件中电子热运动产生, 起伏噪声; 均匀分布在 0 ∼ 1 0 1 2 0\sim 10^12 0∼1012 Hz 范围; Gauss 白噪声; 电压有效值 V = 4 k T R B V=\sqrt{4kTRB} V=4kTRB (V), 其中 Boltzmann 常数 k = 1.38 × 1 0 − 23 k=1.38\times 10^{-23} k=1.38×10−23 (J/K).
窄带 Gauss 噪声: n ( t ) n(t) n(t) 通过 BPF (带通滤波器); 等效带宽 B n = ∫ 0 + ∞ P n ( f ) d f P n ( f 0 ) B_n=\frac{\int_0^{+\infty}P_n(f)\mathrm{d}f}{P_n(f_0)} Bn=Pn(f0)∫0+∞Pn(f)df, 即通过带宽为 B n B_n Bn 的矩形滤波器和实际接收滤波器的噪声功率相等; 平均功率 N = ∫ − ∞ + ∞ P n ( f ) d f N=\int_{-\infty}^{+\infty}P_n(f)\mathrm{d}f N=∫−∞+∞Pn(f)df.
信道容量: 无差错传输时最大平均信息速率.
无噪声信息熵: H ( x ) = − ∫ − ∞ + ∞ p ( x ) log 2 p ( x ) d x H(x)=-\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\log_2 p(x)\mathrm{d}x H(x)=−∫−∞+∞p(x)log2p(x)dx.
信道噪声损失信息熵 (条件熵): H ( x ∣ y ) = − ∫ − ∞ + ∞ p ( y ) d y ∫ − ∞ + ∞ p ( x ∣ y ) log 2 p ( x ∣ y ) d x H(x|y)=-\int_{-\infty}^{+\infty}p(y)\mathrm{d}y\int_{-\infty}^{+\infty}p(x|y)\log_2 p(x|y)\mathrm{d}x H(x∣y)=−∫−∞+∞p(y)dy∫−∞+∞p(x∣y)log2p(x∣y)dx.
信息传输速率: R = r [ H ( x ) − H ( x ∣ y ) ] R=r[H(x)-H(x|y)] R=r[H(x)−H(x∣y)] (bps), r r r 为符号速率.
信道容量: C t = max R C_t=\max R Ct=maxR (bps), 即 C = max P ( X ) [ H ( x ) − H ( x ∣ y ) ] C=\max_{P(X)}[H(x)-H(x|y)] C=maxP(X)[H(x)−H(x∣y)] (b/符号).
Shannon: C = B log 2 ( 1 + S N ) C=B\log_2(1+\frac{S}{N}) C=Blog2(1+NS) (bps), 其中 S S S 为信号平均功率 (W), B B B 为带宽 (Hz), N = n 0 B N=n_0B N=n0B 为噪声功率, n 0 n_0 n0 为噪声单边功率谱密度, S N \frac{S}{N} NS 为信噪比; 信噪比与带宽给定时信息传输速率理论极限.
结论: R b ≤ C R_b\leq C Rb≤C 时总能找到信道编码方式实现无差错传输; R b > C R_b>C Rb>C 时则不能实现无差错传输; 增加 S S S 或减小 n 0 n_0 n0 时可增加 C C C, 特别 S → ∞ S\to\infty S→∞ 或 n 0 → 0 n_0\to 0 n0→0 时 C → ∞ C\to\infty C→∞; 增加 B B B 时可增加 C C C, 但 B → ∞ B\to\infty B→∞ 时 C → log 2 e S n 0 ≈ 1.44 S n 0 C\to\log_2 e\frac{S}{n_0}\approx 1.44\frac{S}{n_0} C→log2en0S≈1.44n0S; 给定 C C C 时, S N \frac{S}{N} NS 和 B B B 反向变动 (可互换).
例题
(1) 随机过程 z ( t ) = m ( t ) cos ( ω c t + θ ) z(t)=m(t)\cos(\omega_c t+\theta) z(t)=m(t)cos(ωct+θ), m ( t ) m(t) m(t) 广义平稳, R m ( τ ) = 1 − ∣ τ ∣ , ∣ τ ∣ < 1 R_m(\tau)=1-|\tau|,\ |\tau|<1 Rm(τ)=1−∣τ∣, ∣τ∣<1, θ ∼ U ( 0 , 2 π ) \theta\sim U(0,2\pi) θ∼U(0,2π); 求功率谱密度.
z ( t ) z(t) z(t) 广义平稳: 显然 E [ z ( t ) ] = 0 E[z(t)]=0 E[z(t)]=0; R z ( t 1 , t 2 ) = 1 2 ( 1 − ∣ τ ∣ ) cos ω 0 τ , ∣ τ ∣ < 1 R_z(t_1,t_2)=\frac{1}{2}(1-|\tau|)\cos\omega_0\tau,\ |\tau|<1 Rz(t1,t2)=21(1−∣τ∣)cosω0τ, ∣τ∣<1.
由 Wiener-Khinchine 和卷积定理及抽样函数可知: 功率谱密度 P z ( ω ) = F [ [ 1 2 ( 1 − ∣ τ ∣ ) ] [ cos ω 0 τ ] ] = 1 2 π [ π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] ] ∗ [ 1 2 S a 2 ( ω 2 ) ] = 1 4 [ S a 2 ( ω + ω 0 2 + ω − ω 0 2 ) ] P_z(\omega)=\mathscr{F}[[\frac{1}{2}(1-|\tau|)][\cos\omega_0\tau]]=\frac{1}{2\pi}[\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]]*[\frac{1}{2}{\rm Sa}^2(\frac{\omega}{2})]=\frac{1}{4}[{\rm Sa}^2(\frac{\omega+\omega_0}{2}+\frac{\omega-\omega_0}{2})] Pz(ω)=F[[21(1−∣τ∣)][cosω0τ]]=2π1[π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]]∗[21Sa2(2ω)]=41[Sa2(2ω+ω0+2ω−ω0)].