什么是不相交集数据结构？
如果两个集合没有任何共同元素，则它们被称为不相交集，集合的交集为空集。
存储不重叠或不相交元素子集的数据结构称为不相交集合数据结构。不相交集合数据结构支持以下操作：
1、将新集合添加到不相交集合中。
2、使用联合操作将不相交集合并为单个不相交集。
3、使用“查找”操作查找不相交集的代表。
4、检查两个集合是否不相交。
考虑这样一个情况，有许多人需要执行以下任务：
1、添加新的友谊关系，即一个人 x 成为另一个人 y 的朋友，即向集合中添加新元素。
2、判断个体x 是否是个体 y 的朋友（直接或间接朋友）
例子：
我们有 10 个人，比如 a、b、c、d、e、f、g、h、i、j
以下是需要添加的关系：
a <-> b
b <-> d
c <-> f
c <-> i
j <-> e
g <-> j
给定查询，例如 a 是否是 d 的朋友。我们基本上需要创建以下 4 个组，并在组项之间保持快速访问的连接：
G1 = {a, b, d}
G2 = {c, f, i}
G3 = {e, g, j}
G4 = {h}
判断 x 和 y 是否属于同一组，即判断 x 和 y 是否是直接/间接朋友。
根据个体所属的组别，将个体划分为不同的集合。此方法称为不相交集合并集，它维护不相交集合的集合，每个集合由其成员之一表示。
要回答上述问题，需要考虑两个关键点：
1、如何解析集合？最初，所有元素都属于不同的集合。在处理给定的关系后，我们选择一个成员作为代表。选择代表的方法有很多种，一种简单的方法是选择最大的索引。
2、检查两个人是否在同一组中？如果两个人的代表相同，那么他们就会成为朋友。
使用的数据结构包括：
数组：整数数组称为Parent[]。如果我们处理N 个项目，则数组的第 i 个元素代表第 i 个项目。更准确地说，Parent[] 数组的第 i 个元素是第 i 个项目的父级。这些关系创建一个或多个虚拟树。
树：它是一个不相交集。如果两个元素在同一棵树中，那么它们就在同一个不相交集。每棵树的根节点（或最顶端节点）称为集合的代表。每个集合始终有一个唯一的代表。识别代表的一个简单规则是，如果“i”是集合的代表，则Parent[i] = i。如果 i 不是其集合的代表，则可以通过沿树向上移动直到找到代表来找到它。
不相交集合数据结构上的操作：
查找
联合
1. 查找：
可以通过递归遍历父数组直到找到其自身的父节点来实现。
// Finds the representative of the set
// that i is an element of
function find(i)
{
// If i is the parent of itself
if (parent[i] == i) {
// Then i is the representative of
// this set
return i;
}
else {
// Else if i is not the parent of
// itself, then i is not the
// representative of his set. So we
// recursively call Find on its parent
return find(parent[i]);
}
}
// The code is contributed by Nidhi goel
时间复杂度：这种方法效率低下，在最坏的情况下可能需要 O(n) 时间。
2. 联合：
它以两个元素作为输入，并使用查找操作找到它们的集合的代表，最后将其中一棵树（代表集合）放在另一棵树的根节点下。
// JavaScript code for the approach
// Unites the set that includes i
// and the set that includes j
function union(parent, rank, i, j)
{
// Find the representatives
// (or the root nodes) for the set
// that includes i
let irep = find(parent, i);
// And do the same for the set
// that includes j
let jrep = find(parent, j);
// Make the parent of i’s representative
// be j’s representative effectively
// moving all of i’s set into j’s set)
parent[irep] = jrep;
}
时间复杂度：这种方法效率低下，在最坏的情况下可能导致长度为 O（n）的树。
优化（按等级/大小合并和路径压缩）：
效率在很大程度上取决于哪棵树连接到另一棵树。有两种方法可以实现。第一种是按等级联合，它将树的高度视为一个因素；第二种是按大小联合，它将树的大小视为一个因素，同时将一棵树连接到另一棵树。此方法与路径压缩一起提供了几乎恒定时间的复杂性。
路径压缩（对 Find() 的修改）：
它通过压缩树的高度来加速数据结构。这可以通过在Find操作中插入一个小的缓存机制来实现。查看代码了解更多详细信息：
// Finds the representative of the set that i
// is an element of.
function find(i)
{
// If i is the parent of itself
if (Parent[i] == i) {
// Then i is the representative
return i;
}
else {
// Recursively find the representative.
let result = find(Parent[i]);
// We cache the result by moving i’s node
// directly under the representative of this
// set
Parent[i] = result;
// And then we return the result
return result;
}
}
// The code is contributed by Arushi Jindal.
时间复杂度：平均每次调用为 O(log n)。
按等级合并：
首先，我们需要一个新的整数数组，名为rank[] 。此数组的大小与父数组Parent[]相同。如果 i 代表一个集合，则rank[i]就是代表该集合的树的高度。 现在回想一下，在 Union 操作中，将两棵树中的哪一棵移动到另一棵之下并不重要。现在我们要做的是最小化结果树的高度。如果我们要合并两棵树（或集合），我们将它们称为左和右，那么这一切都取决于左的等级和右的等级。
1、如果左边的等级小于右边的等级，那么最好将左边移到右边的下方，因为这不会改变右边的等级（而将右边移到左边的下方会增加高度）。同样，如果右边的等级小于左边的等级，那么我们应该将右边移到左边的下方。
2、如果等级相等，那么哪棵树位于另一棵树之下并不重要，但结果的等级始终比树的等级大一。
// JavaScript Program for the above approach
unionbyrank(i, j) {
let irep = this.find(i); // Find representative of set including i
let jrep = this.find(j); // Find representative of set including j
if (irep === jrep) {
return; // Elements are already in the same set
}
let irank = this.rank[irep]; // Rank of set including i
let jrank = this.rank[jrep]; // Rank of set including j
if (irank < jrank) {
this.parent[irep] = jrep; // Make j's representative parent of i's representative
} else if (jrank < irank) {
this.parent[jrep] = irep; // Make i's representative parent of j's representative
} else {
this.parent[irep] = jrep; // Make j's representative parent of i's representative
this.rank[jrep]++; // Increment the rank of the resulting set
}
按大小合并：
同样，我们需要一个新的整数数组，名为size[] 。此数组的大小与父数组Parent[]相同。如果 i 代表一个集合，则size[i]是代表该集合的树中元素的数量。 现在我们将两棵树（或集合）合并起来，我们将它们称为左树和右树，在这种情况下，一切都取决于左树（或集合）的大小和右树（或集合）的大小。
1、如果左边的尺寸小于右边的尺寸，那么最好将左边移到右边下方，并将右边的尺寸增加左边的尺寸。同样，如果右边的尺寸小于左边的尺寸，那么我们应该将右边移到左边下方，并将左边的尺寸增加右边的尺寸。
2、如果尺寸相等，那么哪棵树位于另一棵树下都没有关系。
unionbysize(i, j) {
let irep = this.find(i); // Find the representative of the set containing i.
let jrep = this.find(j); // Find the representative of the set containing j.
if (irep === jrep) {
return; // Elements are already in the same set.
}
let isize = this.size[irep]; // Size of the set including i.
let jsize = this.size[jrep]; // Size of the set including j.
if (isize < jsize) {
// If i's size is less than j's size, make i's representative
// a child of j's representative.
this.parent[irep] = jrep;
this.size[jrep] += this.size[irep]; // Increment j's size by i's size.
} else {
// If j's size is less than or equal to i's size, make j's representative
// a child of i's representative.
this.parent[jrep] = irep;
this.size[irep] += this.size[jrep]; // Increment i's size by j's size.
if (isize === jsize) {
// If sizes are equal, increment the rank of i's representative.
this.rank[irep]++;
}
}
}
输出
元素 0：代表 = 0
元素 1：代表 = 0
元素 2：代表 = 2
元素 3：代表 = 2
元素 4：代表 = 0
时间复杂度：O（log n），无路径压缩。
下面是具有路径压缩和按等级合并的不相交集的完整实现。
class DisjSet {
constructor(n) {
this.rank = new Array(n);
this.parent = new Array(n);
this.n = n;
this.makeSet();
}
makeSet() {
for (let i = 0; i < this.n; i++) {
this.parent[i] = i;
}
}
find(x) {
if (this.parent[x] !== x) {
this.parent[x] = this.find(this.parent[x]);
}
return this.parent[x];
}
Union(x, y) {
let xset = this.find(x);
let yset = this.find(y);
if (xset === yset) return;
if (this.rank[xset] < this.rank[yset]) {
this.parent[xset] = yset;
} else if (this.rank[xset] > this.rank[yset]) {
this.parent[yset] = xset;
} else {
this.parent[yset] = xset;
this.rank[xset] = this.rank[xset] + 1;
}
}
}
// usage example
let obj = new DisjSet(5);
obj.Union(0, 2);
obj.Union(4, 2);
obj.Union(3, 1);
if (obj.find(4) === obj.find(0)) {
console.log("Yes");
} else {
console.log("No");
}
if (obj.find(1) === obj.find(0)) {
console.log("Yes");
} else {
console.log("No");
}
输出
Yes
No
时间复杂度：创建 n 个单项集的时间为 O(n)。两种技术（路径压缩和按等级/大小合并）的时间复杂度将达到接近常数时间。事实证明，最终的 摊销时间复杂度为 O(α(n))，其中 α(n) 是逆阿克曼函数，其增长非常稳定（当 n<10 600 
时，它甚至不会超过）。
空间复杂度： O（n），因为我们需要在不相交集数据结构中存储 n 个元素。