什么是不相交集数据结构？
如果两个集合没有任何共同元素，则它们被称为不相交集，集合的交集为空集。
存储不重叠或不相交元素子集的数据结构称为不相交集合数据结构。不相交集合数据结构支持以下操作：
1、将新集合添加到不相交集合中。
2、使用联合操作将不相交集合并为单个不相交集。
3、使用“查找”操作查找不相交集的代表。
4、检查两个集合是否不相交。
考虑这样一个情况，有许多人需要执行以下任务：
1、添加新的友谊关系，即一个人 x 成为另一个人 y 的朋友，即向集合中添加新元素。
2、判断个体x 是否是个体 y 的朋友（直接或间接朋友）
例子：
我们有 10 个人，比如 a、b、c、d、e、f、g、h、i、j
以下是需要添加的关系：
a <-> b
b <-> d
c <-> f
c <-> i
j <-> e
g <-> j
给定查询，例如 a 是否是 d 的朋友。我们基本上需要创建以下 4 个组，并在组项之间保持快速访问的连接：
G1 = {a, b, d}
G2 = {c, f, i}
G3 = {e, g, j}
G4 = {h}
判断 x 和 y 是否属于同一组，即判断 x 和 y 是否是直接/间接朋友。
根据个体所属的组别，将个体划分为不同的集合。此方法称为不相交集合并集，它维护不相交集合的集合，每个集合由其成员之一表示。
要回答上述问题，需要考虑两个关键点：
1、如何解析集合？最初，所有元素都属于不同的集合。在处理给定的关系后，我们选择一个成员作为代表。选择代表的方法有很多种，一种简单的方法是选择最大的索引。
2、检查两个人是否在同一组中？如果两个人的代表相同，那么他们就会成为朋友。
使用的数据结构包括：
数组：整数数组称为Parent[]。如果我们处理N 个项目，则数组的第 i 个元素代表第 i 个项目。更准确地说，Parent[] 数组的第 i 个元素是第 i 个项目的父级。这些关系创建一个或多个虚拟树。
树：它是一个不相交集。如果两个元素在同一棵树中，那么它们就在同一个不相交集。每棵树的根节点（或最顶端节点）称为集合的代表。每个集合始终有一个唯一的代表。识别代表的一个简单规则是，如果“i”是集合的代表，则Parent[i] = i。如果 i 不是其集合的代表，则可以通过沿树向上移动直到找到代表来找到它。
不相交集合数据结构上的操作：
查找
联合
1. 查找：
可以通过递归遍历父数组直到找到其自身的父节点来实现。
# Finds the representative of the set
# that i is an element of
def find(i):
# If i is the parent of itself
if (parent[i] == i):
# Then i is the representative of
# this set
return i
else:
# Else if i is not the parent of
# itself, then i is not the
# representative of his set. So we
# recursively call Find on its parent
return find(parent[i])
# The code is contributed by Nidhi goel
时间复杂度：这种方法效率低下，在最坏的情况下可能需要 O(n) 时间。
2. 联合：
它以两个元素作为输入，并使用查找操作找到它们的集合的代表，最后将其中一棵树（代表集合）放在另一棵树的根节点下。
# Unites the set that includes i
# and the set that includes j
def union(parent, rank, i, j):
# Find the representatives
# (or the root nodes) for the set
# that includes i
irep = find(parent, i)
# And do the same for the set
# that includes j
jrep = find(parent, j)
# Make the parent of i’s representative
# be j’s representative effectively
# moving all of i’s set into j’s set)
parent[irep] = jrep
时间复杂度：这种方法效率低下，在最坏的情况下可能导致长度为 O（n）的树。
优化（按等级/大小合并和路径压缩）：
效率在很大程度上取决于哪棵树连接到另一棵树。有两种方法可以实现。第一种是按等级联合，它将树的高度视为一个因素；第二种是按大小联合，它将树的大小视为一个因素，同时将一棵树连接到另一棵树。此方法与路径压缩一起提供了几乎恒定时间的复杂性。
路径压缩（对 Find() 的修改）：
它通过压缩树的高度来加速数据结构。这可以通过在Find操作中插入一个小的缓存机制来实现。查看代码了解更多详细信息：
# Finds the representative of the set that i
# is an element of.
def find(i):
# If i is the parent of itself
if Parent[i] == i:
# Then i is the representative
return i
else:
# Recursively find the representative.
result = find(Parent[i])
# We cache the result by moving i’s node
# directly under the representative of this
# set
Parent[i] = result
# And then we return the result
return result
# The code is contributed by Arushi Jindal.
时间复杂度：平均每次调用为 O(log n)。
按等级合并：
首先，我们需要一个新的整数数组，名为rank[] 。此数组的大小与父数组Parent[]相同。如果 i 代表一个集合，则rank[i]就是代表该集合的树的高度。 现在回想一下，在 Union 操作中，将两棵树中的哪一棵移动到另一棵之下并不重要。现在我们要做的是最小化结果树的高度。如果我们要合并两棵树（或集合），我们将它们称为左和右，那么这一切都取决于左的等级和右的等级。
1、如果左边的等级小于右边的等级，那么最好将左边移到右边的下方，因为这不会改变右边的等级（而将右边移到左边的下方会增加高度）。同样，如果右边的等级小于左边的等级，那么我们应该将右边移到左边的下方。
2、如果等级相等，那么哪棵树位于另一棵树之下并不重要，但结果的等级始终比树的等级大一。
class DisjointSet:
def __init__(self, size):
self.parent = [i for i in range(size)]
self.rank = [0] * size
# Function to find the representative (or the root node) of a set
def find(self, i):
# If i is not the representative of its set, recursively find the representative
if self.parent[i] != i:
self.parent[i] = self.find(self.parent[i]) # Path compression
return self.parent[i]
# Unites the set that includes i and the set that includes j by rank
def union_by_rank(self, i, j):
# Find the representatives (or the root nodes) for the set that includes i and j
irep = self.find(i)
jrep = self.find(j)
# Elements are in the same set, no need to unite anything
if irep == jrep:
return
# Get the rank of i's tree
irank = self.rank[irep]
# Get the rank of j's tree
jrank = self.rank[jrep]
# If i's rank is less than j's rank
if irank < jrank:
# Move i under j
self.parent[irep] = jrep
# Else if j's rank is less than i's rank
elif jrank < irank:
# Move j under i
self.parent[jrep] = irep
# Else if their ranks are the same
else:
# Move i under j (doesn't matter which one goes where)
self.parent[irep] = jrep
# Increment the result tree's rank by 1
self.rank[jrep] += 1
def main(self):
# Example usage
size = 5
ds = DisjointSet(size)
# Perform some union operations
ds.union_by_rank(0, 1)
ds.union_by_rank(2, 3)
ds.union_by_rank(1, 3)
# Find the representative of each element
for i in range(size):
print(f"Element {i} belongs to the set with representative {ds.find(i)}")
# Creating an instance and calling the main method
ds = DisjointSet(size=5)
ds.main()
按大小合并：
同样，我们需要一个新的整数数组，名为size[] 。此数组的大小与父数组Parent[]相同。如果 i 代表一个集合，则size[i]是代表该集合的树中元素的数量。 现在我们将两棵树（或集合）合并起来，我们将它们称为左树和右树，在这种情况下，一切都取决于左树（或集合）的大小和右树（或集合）的大小。
1、如果左边的尺寸小于右边的尺寸，那么最好将左边移到右边下方，并将右边的尺寸增加左边的尺寸。同样，如果右边的尺寸小于左边的尺寸，那么我们应该将右边移到左边下方，并将左边的尺寸增加右边的尺寸。
2、如果尺寸相等，那么哪棵树位于另一棵树下都没有关系。
# Python program for the above approach
class UnionFind:
def __init__(self, n):
# Initialize Parent array
self.Parent = list(range(n))
# Initialize Size array with 1s
self.Size = [1] * n
# Function to find the representative (or the root node) for the set that includes i
def find(self, i):
if self.Parent[i] != i:
# Path compression: Make the parent of i the root of the set
self.Parent[i] = self.find(self.Parent[i])
return self.Parent[i]
# Unites the set that includes i and the set that includes j by size
def unionBySize(self, i, j):
# Find the representatives (or the root nodes) for the set that includes i
irep = self.find(i)
# And do the same for the set that includes j
jrep = self.find(j)
# Elements are in the same set, no need to unite anything.
if irep == jrep:
return
# Get the size of i’s tree
isize = self.Size[irep]
# Get the size of j’s tree
jsize = self.Size[jrep]
# If i’s size is less than j’s size
if isize < jsize:
# Then move i under j
self.Parent[irep] = jrep
# Increment j's size by i's size
self.Size[jrep] += self.Size[irep]
# Else if j’s size is less than i’s size
else:
# Then move j under i
self.Parent[jrep] = irep
# Increment i's size by j's size
self.Size[irep] += self.Size[jrep]
# Example usage
n = 5
unionFind = UnionFind(n)
# Perform union operations
unionFind.unionBySize(0, 1)
unionFind.unionBySize(2, 3)
unionFind.unionBySize(0, 4)
# Print the representative of each element after unions
for i in range(n):
print("Element {}: Representative = {}".format(i, unionFind.find(i)))
# This code is contributed by Susobhan Akhuli
输出
元素 0：代表 = 0
元素 1：代表 = 0
元素 2：代表 = 2
元素 3：代表 = 2
元素 4：代表 = 0
时间复杂度：O（log n），无路径压缩。
下面是具有路径压缩和按等级合并的不相交集的完整实现。
# Python3 program to implement Disjoint Set Data
# Structure.
class DisjSet:
def __init__(self, n):
# Constructor to create and
# initialize sets of n items
self.rank = [1] * n
self.parent = [i for i in range(n)]
# Finds set of given item x
def find(self, x):
# Finds the representative of the set
# that x is an element of
if (self.parent[x] != x):
# if x is not the parent of itself
# Then x is not the representative of
# its set,
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
# so we recursively call Find on its parent
# and move i's node directly under the
# representative of this set
return self.parent[x]
# Do union of two sets represented
# by x and y.
def Union(self, x, y):
# Find current sets of x and y
xset = self.find(x)
yset = self.find(y)
# If they are already in same set
if xset == yset:
return
# Put smaller ranked item under
# bigger ranked item if ranks are
# different
if self.rank[xset] < self.rank[yset]:
self.parent[xset] = yset
elif self.rank[xset] > self.rank[yset]:
self.parent[yset] = xset
# If ranks are same, then move y under
# x (doesn't matter which one goes where)
# and increment rank of x's tree
else:
self.parent[yset] = xset
self.rank[xset] = self.rank[xset] + 1
# Driver code
obj = DisjSet(5)
obj.Union(0, 2)
obj.Union(4, 2)
obj.Union(3, 1)
if obj.find(4) == obj.find(0):
print('Yes')
else:
print('No')
if obj.find(1) == obj.find(0):
print('Yes')
else:
print('No')
# This code is contributed by ng24_7.
输出
Yes
No
时间复杂度：创建 n 个单项集的时间为 O(n)。两种技术（路径压缩和按等级/大小合并）的时间复杂度将达到接近常数时间。事实证明，最终的 摊销时间复杂度为 O(α(n))，其中 α(n) 是逆阿克曼函数，其增长非常稳定（当 n<10 600 
时，它甚至不会超过）。
空间复杂度： O（n），因为我们需要在不相交集数据结构中存储 n 个元素。