在小学数学题中，有时我们会遇到这样的题目：给出一个数字串（例如 987654321），需要在其间插入加号（+）或者减号（-），使得计算结果为 100。比如 9+8+76+5+4-3+2-1 = 100。
这种题目看似简单，但实际解题过程中需要遍历所有可能的加减组合，才能找到符合条件的表达式。本文将通过**深度优先搜索算法（DFS）**来解决这个问题，并给出 Python 代码示例。
问题描述
给定数字串 987654321，要求通过在数字间加入加号或者减号，使得计算结果为 100。我们需要找到所有符合条件的表达式。
例如，9+8+76+5+4-3+2-1 = 100 是其中一种解。
深度优先搜索（DFS）解法
我们可以将这个问题看作一个树形结构，每次选择一个操作符（+、- 或者 空），然后递归地搜索后续的组合。通过DFS，可以枚举所有可能的表达式，最终筛选出结果为 100 的组合。
代码实现
countIndex = 0
def find_expression():
numbers = '987654321'
operators = ['+', '-', ''] # 定义三个操作符：加、减和空（用于连接多位数）
def generate_combinations(current_idx, current_expression):
global countIndex
# 如果到达最后一位数字
if current_idx == len(numbers) - 1:
if eval(current_expression) == 100: # 计算表达式结果是否等于100
countIndex += 1
print(f"{
countIndex}: {
current_expression} = {
eval(current_expression)}")
return
# 遍历每个操作符
for op in operators:
# 递归调用，生成后续组合
generate_combinations(
current_idx + 1, current_expression + op + numbers[current_idx + 1]
)
# 从正负两种情况开始生成表达式
generate_combinations(0, '' + numbers[0])
generate_combinations(0, '-' + numbers[0])
find_expression()
代码解析
-
操作符的定义：我们定义了三种操作符，分别是
+、-和空。空表示可以直接将数字组合成多位数。例如'9'和'8'之间没有操作符时，它们会合并为98。 -
递归生成表达式：我们通过递归方式，依次尝试每个操作符组合，构建表达式。递归的基准条件是，当前已经处理到数字串的最后一位。如果此时表达式的计算结果为 100，就输出该表达式。
-
表达式计算：利用
eval()函数来计算当前生成的表达式的结果。 -
结果输出：代码会打印出所有符合条件的表达式。
输出结果
执行上述代码，可以得到以下结果：
1: 9+8+76+5+4-3+2-1 = 100
2: 9+8+76+5-4+3+2+1 = 100
3: 9-8+7+65-4+32-1 = 100
4: 9-8+76+54-32+1 = 100
5: 9-8+76-5+4+3+21 = 100
6: 98+7+6-5-4-3+2-1 = 100
...
共计找到了 18 种不同的表达式组合，满足计算结果为 100。
深度优先搜索的优势
使用深度优先搜索，我们可以逐步构建和探索每一个可能的表达式，直到找到满足条件的解。通过这种方式，可以枚举出所有可能的解法，而且代码逻辑清晰易懂，便于调试和扩展。
相比于暴力搜索，DFS 的递归结构更有助于将复杂问题拆解为多个子问题，这样在面对更大规模的数字串时，仍然能够保持较好的可维护性和扩展性。
总结
通过本文的解法，我们使用深度优先搜索（DFS）成功地解决了给定数字串 987654321，通过加减符号使其结果为 100 的问题。DFS 的核心思想是逐步递归搜索，直到找到满足条件的解。最后，Python 的 eval() 函数让我们可以快速验证每一个生成的表达式是否符合条件。
这种解题思路不仅仅适用于这种简单的加减符号问题，还可以推广到更复杂的组合问题，比如括号匹配、数学表达式的符号变换等。