信息的表示和处理
整数运算
加法运算
两个无符号数unsigned char a = 255和unsigned char b = 1相加结果为0
原因：a+b超过了unsigned char 所能表示的最大值255
溢出：超出数据类型所能表示的最大值
无符号数加法（Unsigned Addition）
引入符号表示w位的无符号数加法： + w u +^{u}_{w} +wu u代表无符号数，w表示w位
对于x和y两个加数，存在约束 0 < x / y < 2 w 0<x/y<2^{w} 0<x/y<2w ，若x+y小于 2 w 2^{w} 2w，结果与实际情况一致，若 2 w < = x + y < 2 w + 1 2^{w}<=x+y<2^{w+1} 2w<=x+y<2w+1 ，产生溢出
二进制表示
为了保持w位不变，最高位的1会被丢弃，因此相当于减去 2 w 2^{w} 2w
C语言中溢出不会报错
检测无符号加法的溢出（Detecting Overflow of Unsigned Addition）
用程序判断，返回值为1表示正常，返回值为0表示出现溢出
其中
if(sum < x && sum < y) return 0;
else return 1;
可以改为return sum>=x
证明：当出现溢出时，得到的和小于任意一个数（x或y）
有符号数加法（Two’s Complement Addition）
引入符号表示w位的无符号数加法： + w t +^{t}_{w} +wt t是补码的首字母缩写，w表示w位
想要准确表示有符号数的加法需要w+1位，为了避免数据的扩展，最后结果截断w位表示
有符号数的加法分为：正溢出和负溢出
正溢出： 2 w − 1 < = x + y 2^{w-1}<=x+y 2w−1<=x+y ，此时结果会减去 2 w 2^{w} 2w
负溢出： x + y < − 2 w − 1 x+y<-2^{w-1} x+y<−2w−1 ，此时结果会加上 2 w 2^{w} 2w
正溢出（Postive Overflow）
代码示例：
二进制表示，最高位的1表示负权重
负溢出（Negative Overflow）
最高位为0表示正权重
检测有符号数是否发生溢出（Overflow）
- 若两数为正，结果为负代表出现了正溢出
- 若两数为负，结果为正代表出现了负溢出
减法运算
加法逆元（Additive Inverse）
对于x存在x’，使x+x’ = x+x’ =0，那么x’为x的加法逆元
那么减法运算 y − x y-x y−x = y + x ′ y+x' y+x′
无符号数的加法逆元
对于无符号数x，根据无符号数的加法可知，它的加法逆元是 2 w − x ′ 2^{w}-x' 2w−x′
无符号数的加法逆元如图所示
有符号数的加法逆元（Two’s-Complement Negation）
当x为最小值时，根据有符号数的加法可知，它的加法逆元是 − 2 w − 1 -2^{w-1} −2w−1，补码最小值的逆元就是本身
乘法运算
无符号数的乘法运算（Unsigned Multiplication）
2个w位无符号数x和y，乘积可能需要2w位来表示，在C语言中定义了无符号数的乘法是w位，因此运行结果会截取低w位
补码的乘法（Two’s-Complement Multiplication）
无论是无符号乘法，还是补码乘法，运算结果的位级表示都是一样的
但是补码乘法，需要把无符号数转换成补码（有符号数）
完整的位级表示不同但是阶段后的位级表示相同
Bit-Level Equivalence
根据之前的定义
对于相同的二进制，无符号数x’与有符号数x之间的关系如图所示
证得：无符号数和有符号数截断后得位级表示相同
Multiplying by Constants
乘法指令的执行会涉及多个时钟周期，所以很多C语言编译器试图用移位、加法以及减法来代替乘法的操作
乘以2的幂的情况
x ∗ 2 = 左移 1 位 x*2 = 左移1位 x∗2=左移1位
x ∗ 4 = 左移 2 位 x*4 = 左移2位 x∗4=左移2位
. . . . . . ...... ......
x ∗ 2 k = 左移 k 位 x*2^{k} = 左移k位 x∗2k=左移k位
证明如图所示
乘以任意常数
例如： x ∗ 14 x*14 x∗14，14=8+4+2，这样可以用2个移位操作和2个加法操作来代替
除法运算
除法可以用右移来代替
无符号数用逻辑右移，有符号数用算术右移
除不尽（Rounds Toward Zero）
在整数除法中，如果遇到除不尽的情况总是向零舍入
当x大于等于0，y大于0时，结果将向下舍入
当x小于0，y大于0时，结果将向上舍入
除以2的幂（Dividing by Powers of 2）
无符号数除以2的幂的情况
对无符号数x右移k位的操作如图所示
为了方便描述引入两个变量x1，x2。x1是w-k位的无符号数，x2是k位的无符号数
可观察到 x 1 < < k + x 2 = x x_{1}<<k + x_{2} = x x1<<k+x2=x
由于x2是k位所以 0 < = x 2 < 2 k 0<=x_{2}<2^{k} 0<=x2<2k
因此x除以2的k次方，取整结果就等于x1，这与x右移k位结果一致
有符号数除以2的幂（Dividing by Powers of 2）
当补码的最高位为0（正数）时，算术右移与除以2的k次方一致
当补码的最高位为1（负数）时，算术右移会导致舍入并不是向0的方向，所以需要加上一个偏置
偏置= [（1 << k位） -1]
但是并不能推广到任意常数！