P11177 [ROIR 2018 Day1] 平方与立方 题解

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通俗题意

给你三个整数 $a,b,k$，需要你求出满足下列条件的不同的 $x,y$ 有多少对。

• $a\le x^2,y^3\le b$。
• $|x^2-y^3|\le k$。
• $x,y$ 均为非负整数。

解题思路

注意到题目中一直在算平方和立方，所以可以猜测正确的时间复杂度应该是带有根号的。又观察到 $1\le a\le b\le 10^{18}$，所以排除 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 的算法，那么还有一种可能的时间复杂度就是 $\mathcal{O}(\sqrt[3]{n})$。

首先 $x,y$ 一定是在区间 $[\lceil \sqrt[3]{a}\rceil ,\lfloor \sqrt[3]{b}\rfloor ]$ 之间的。为什么要加上向上取整与向下取整呢？因为 $x,y$ 为整数，那么当 $y=\lfloor \sqrt[3]{a}\rfloor$ 时，$y^3\le a$，很明显在 $a$ 不是完全立方数时满足 $y^3<a$，例如 $a=3$ 时，$y=\lfloor \sqrt[3]{3}\rfloor =1$，而 $y^3=1<a$。

接着我们考虑在区间 $[\lceil \sqrt[3]{a}\rceil ,\lfloor \sqrt[3]{b}\rfloor ]$ 之间枚举 $y$。这时 $|x^2-y^3|\le k$ 就可以看成 $x^2$ 只能在 $[y^3-k,y^3+k]$ 中。那么当 $y^3-k\ge 0$ 时，$x$ 的最小取值为 $\sqrt{y^3-k}$，当 $y^3-k<0$ 时，我们让 $x=0$。

所以，$x$ 所在的区间也就是 [ max ⁡ { 0 , y 3 − k } , y 3 + k ] [\sqrt{\max\{0, y^3 - k\}}, \sqrt{y^3 + k}] [max{ 0,y3−k} ​,y3+k ​]。但是题目要求 $a\le x^2\le b$，所以最终 $x$ 的取值范围就是 [ max ⁡ { y 3 − k , a } , min ⁡ { y 3 + k , b } ] [\sqrt{\max\{y^3 - k, a\}}, \sqrt{\min\{y^3 + k, b\}}] [max{ y3−k,a} ​,min{ y3+k,b} ​]。我们都知道 $l\sim r$ 之间的整数的个数为 $r-l+1$，那么我们就可以解出这道题了。

算法总时间复杂度 $\mathcal{O}(\sqrt[3]{b-a})$。

CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
signed main() {
    
    
	ios::sync_with_stdio(false);
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int a, b, k, ans = 0;
	cin >> a >> b >> k;
	int l = ceil(cbrt(a)), r = cbrt(b);
	for (int y = l; y <= r; y++) {
    
    
		ans += floor(sqrt(min(y * y * y + k, b))) - ceil(sqrt(max(y * y * y - k, a))) + 1;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}