循环码&码多项式

循环码

·循环码除了具有线性分组码的一般性质外，还具有循环性：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组

码多项式

·设循环码码字$C=[c_1{c}_2\dots c_n]$

·则码多项式：$C(x)=c_1{x}^{n-1}+c_2{x}^{n-2}\dots +c_n$

x仅是码元位置的标记，并无取值的含义

生成多项式

·从码中取出一个前面$k-1$位都是0的码字，定义这个码字的码多项式为生成多项式$g(x)$(该多项式的次数为$n-k$,即监督码元的位数)
·所有码多项式必定为$g(x)$的倍式
·生成多项式直接构造的生成矩阵，对应的码一定不是系统码

系统循环码的编码方法：

1. 用$x^{n-k}$乘信息多项式$m(x)$ (把信息码左移$n-k$位，即附加$n-k$个0)
2. 求$r(x):$化简$\frac{m}{(}x)x^{n-k}g(x)$,余式为监督多项式/监督位$r(x)$
3. 系统码：$C(x)=m(x)x^n-k+r(x)$

系统循环码生成多项式的一般表示形式为$G=[I|P]$

得到系统循环码的生成矩阵有两种方法：

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1. 先求监督位，再用典型生成阵的信息位所对应多项式左移n-k位，对生成多项式 除法求余，得到相应监督多项式(监督位),继而得到生成矩阵
2. 先求非系统码的生成矩阵，再根据生成多项式和循环码的定义，得到非系统码的生成矩阵，然后对该矩阵进行初等变换，变成系统码的生成矩阵