域的概念
域是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。
域的概念是数域以及四则运算的推广。
域是环的一种。域和一般环的区别在于域要求它的元素可以进行除法运算，这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代定义中，域中元素关于乘法是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。
在过去的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”，包含有限个元素的域被称为有限域。
形象地说，域有这样一个性质：在加法和乘法上具有封闭性。也就是说对域中的元素进行加法或乘法运算后的结果仍然是域中的元素。有一点要注意，域里面的乘法和加法不一定是我们平常使用的乘法和加法。可以把C语言中的与运算和异或运算分别定义成加法和乘法。但习惯上，仍然使用符号+ 和 * 表示加法和乘法运算。
有限域（伽罗瓦域）
有限域亦称伽罗瓦域（galois field），是仅含有限个元素的域。它是伽罗瓦(Galois,E.)于19世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的。
有限域的特征数必为某一素数p，因此它含的素域同构于 Z p Zp Zp。
若F是特征为p的有限域,则F中元素的个数为 p n pⁿ pn，n为某一正整数。
元素个数相同的有限域是同构的。因此,通常用 G F ( p n ) GF(pⁿ) GF(pn)表示 p n pⁿ pn元的有限域. G F ( p n ) GF(pⁿ) GF(pn)的乘法群是 ( p n − 1 ) (pⁿ-1) (pn−1)阶的循环群.有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方面有着广泛的应用.
在近代编码理论中，一个元素数量为有限值 q 的域被称为有限域或伽罗华域，表示为 G F ( q ) GF(q) GF(q)，这时的码也称为q元码。一般而言，有限域只有在 q 是质数时存在，或者当 q = p m q = p^m q=pm，其中 p 是质数，m 是整数时存在。
G F ( q ) GF(q) GF(q)的基本特性
在有限域 GF(q) 中，其中 q >1，且为质数，拥有元素为 0, 1, 2, …, q -1。进行加法和乘法操作时，采用模 q 意义(modulo-q)下的运算。举例来说，在质数域 GF(5) 包含元素 {0, 1, 2, 3, 4}，在这个域中，进行加法和乘法操作时采用的是modulo-5意义下的运算。例如，对于加法，计算 3 + 4 =2 modulo- 5，即 7 模 5，最终得到的结果是 2。同样地，对于乘法，计算 2 x 3 =1 modulo- 5，即 6 模 5，最终得到的结果是 1。
有限域的封闭性法则
乘法下的封闭性法则意味着 a a = a 2 aa = a^2 aa=a2, a a a = a 3 aaa= a^3 aaa=a3（以此类推）也是 G F ( 2 m ) GF(2^m) GF(2m) 中的元素。因此有
G F ( 2 m ) = { 0 , 1 , α , α 2 , α 3 , … } GF(2^m)=\left\{0,1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\ldots\right\} GF(2m)={
0,1,α,α2,α3,…}