前缀和（尾篇）

前缀和

和可被K整除的⼦数组（本题是某⼀年的蓝桥杯竞赛原题哈）

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子数组 的数目。

子数组 是数组中 连续 的部分。

示例 1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:

输入: nums = [5], k = 9
输出: 0

提示:

• 1 <= nums.length <= 3 * 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• 2 <= k <= 104

解法（前缀和在哈希表中）：

（暴⼒解法就是枚举出所有的⼦数组的和，这⾥不再赘述。）

本题需要的前置知识：

• 同余定理

如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n == b % n 。⽤⽂字叙 述就是，如果两个数相减的差能被n整除，那么这两个数对n取模的结果相同。

例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。

• c++ 中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果

a. c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。 例如：-1 % 3 = -(1 % 3) = -1

b. 因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 正。 例如：-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

算法思路：

设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。

• 设 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， x1, [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得 (b - a) % k == 0 。

• 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：

◦ 找到在 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成： [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前 缀和出现的次数。

代码如下：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map <int,int> hash;
        hash[0%k]=1;//0这个数的余数
        int sum=0,ret=0;
        for(auto x:nums)
        {
            sum+=x;//算出当前位置的前缀和
            int r=(sum%k+k)%k;//修正后的余数
            if(hash.count(r)) ret+=hash[r];//统计个数
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};

连续数组

给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。

示例 1:

输入: nums = [0,1]
输出: 2
说明: [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 2:

输入: nums = [0,1,0]
输出: 2
说明: [0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• nums[i] 不是 0 就是 1

（暴⼒解法就是枚举所有的⼦数组，然后判断⼦数组是否满⾜要求，这⾥不再赘述。）

解法（前缀和在哈希表中）：

算法思路：

稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：

• 本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同

• 如果将 0 记为-1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。

设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 就变成：

• 找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i] 的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的 位置。

代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        unordered_map <int,int> hash;
        hash[0]=-1;
        int sum=0,ret=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            sum+=nums[i]==0?-1:1;//计算当前前缀和
            if(hash.count(sum)) ret=max(ret,i-hash[sum]);
            else hash[sum]=i;
        }
        return ret;
    }
};

矩阵区域和

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：

• i - k <= r <= i + k,
• j - k <= c <= j + k 且
• (r, c) 在矩阵内。

示例 1：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

示例 2：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

提示：

• m == mat.length
• n == mat[i].length
• 1 <= m, n, k <= 100
• 1 <= mat[i][j] <= 100

代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m=mat.size(),n=mat[0].size();
        //1.预处理一个前缀和矩阵
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+mat[i-1][j-1];
            //2.使用
            vector<vector<int>> ret(m,vector<int>(n));
            for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                int x1=max(0,i-k)+1,y1=max(0,j-k)+1;
                int x2=min(m-1,i+k)+1,y2=min(n-1,j+k)+1;
                ret[i][j]=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1];
            }
            return ret;
    }
};