EWMA 指数加权移动平均
EWMA 简介
EWMA（Exponentially Weighted Moving Average）是一种常用的统计方法，用于计算时间序列数据的平滑平均值。与简单移动平均（SMA）不同，EWMA 赋予较新的数据更高的权重，而较旧的数据权重逐渐减小。这种加权方式使得 EWMA 对数据的最新变化更加敏感，因此在金融、工程、质量控制等领域广泛应用。
EWMA 公式推导
假设我们有一系列时间序列数据 x 1 , x 2 , … , x t x_1, x_2, \ldots, x_t x1,x2,…,xt，我们希望计算到时间 t t t为止的 EWMA 值 S t S_t St。
基本公式
EWMA 的基本公式为：
S t = α x t + ( 1 − α ) S t − 1 S_t = \alpha x_t + (1 - \alpha) S_{t-1} St=αxt+(1−α)St−1
其中：
- S t S_t St是时间 t t t的 EWMA 值。
- x t x_t xt是时间 t t t的观测值。
- S t − 1 S_{t-1} St−1是时间 t − 1 t-1 t−1的 EWMA 值。
- α \alpha α是平滑因子（smoothing factor），取值范围为 0 < α ≤ 1 0 < \alpha \leq 1 0<α≤1。
初始值
通常，初始值 S 0 S_0 S0可以设置为第一个观测值 x 1 x_1 x1，或者设置为一个合理的初始估计值。
递推公式
为了更好地理解 EWMA 的递推过程，我们可以将公式展开：
S t = α x t + ( 1 − α ) S t − 1 S_t = \alpha x_t + (1 - \alpha) S_{t-1} St=αxt+(1−α)St−1
S t − 1 = α x t − 1 + ( 1 − α ) S t − 2 S_{t-1} = \alpha x_{t-1} + (1 - \alpha) S_{t-2} St−1=αxt−1+(1−α)St−2
S t − 2 = α x t − 2 + ( 1 − α ) S t − 3 S_{t-2} = \alpha x_{t-2} + (1 - \alpha) S_{t-3} St−2=αx