光线追踪理论与应用

光线追踪的基本概念

光线追踪是一种计算光学系统中光线路径的技术，广泛应用于光学设计和仿真软件中。通过模拟光线在不同介质中的传播、反射、折射等行为，光线追踪可以预测光学系统的性能，包括光强分布、成像质量、颜色表现等。在光学设计仿真软件中，光线追踪是核心功能之一，用于验证和优化设计。

光线追踪的基本步骤

1. 光源定义：定义光源的位置、方向和光谱特性。

2. 光线发射：从光源发射光线。

3. 光线与物体的交点计算：计算光线与光学元件或其他物体的交点。

4. 光线传播：根据物理定律（如反射定律、折射定律）计算光线在交点处的行为。

5. 光线接收：计算光线最终到达探测器或接收面的光强和位置。

6. 结果分析：分析仿真结果，评估光学系统的性能。

光线追踪的应用

光线追踪在光学设计中有着广泛的应用，包括但不限于：

• 成像系统设计：如相机镜头、显微镜、望远镜等。

• 照明设计：如汽车前灯、室内照明、舞台灯光等。

• 光谱分析：如色散、光谱滤波等。

• 非成像光学设计：如太阳能聚光器、光纤耦合器等。

光线追踪的物理基础

反射和折射定律

光线在不同介质之间的传播遵循反射和折射定律。反射定律指出，入射光线、反射光线和法线在同一平面内，并且入射角等于反射角。折射定律（斯涅尔定律）指出，入射光线、折射光线和法线在同一平面内，入射角和折射角的正弦值之比等于两种介质的折射率之比。

反射定律

$${\theta }_i={\theta }_r$$

其中，${\theta }_i$是入射角，${\theta }_r$是反射角。

折射定律（斯涅尔定律）

$$n_1\sin ({\theta }_i)=n_2\sin ({\theta }_r)$$

其中，$n_1$和 $n_2$分别是入射介质和折射介质的折射率，${\theta }_i$是入射角，${\theta }_r$是折射角。

能量守恒和衰减

光线在传播过程中会经历能量守恒和衰减。能量守恒意味着光线在反射和折射过程中，能量的总和保持不变。衰减则是指光线在传播过程中因吸收、散射等原因导致能量的减少。

能量守恒

$$I_i=I_r+I_t$$

其中，$I_i$是入射光强，$I_r$是反射光强，$I_t$是透射光强。

衰减

$$I(z)=I_0{e}^{-\alpha z}$$

其中，$I_0$是初始光强，$\alpha$是衰减系数，$z$是传播距离。

光线追踪的数学模型

光线的表示

在光线追踪中，光线通常用一个起点和一个方向向量来表示。具体来说，可以表示为：

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{d}$$

其中，${\mathbf{r}}_0$是光线的起点，$\mathbf{d}$是方向向量，$t$是参数，表示光线沿方向向量的传播距离。

交点计算

交点计算是光线追踪中的关键步骤。假设光线与一个平面的交点，可以使用以下公式计算：

$$t=\frac{{\mathbf{r}}_0\cdot \mathbf{n}-d}{\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}}$$

其中，$\mathbf{n}$是平面的法向量，$d$是平面的常数项。

例子：计算光线与平面的交点

import numpy as np



def calculate_intersection(ray_origin, ray_direction, plane_normal, plane_constant):

    """

    计算光线与平面的交点



    :param ray_origin: 光线的起点

    :param ray_direction: 光线的方向向量

    :param plane_normal: 平面的法向量

    :param plane_constant: 平面的常数项

    :return: 交点参数 t

    """

    numerator = np.dot(ray_origin, plane_normal) - plane_constant

    denominator = np.dot(ray_direction, plane_normal)

    

    if denominator == 0:

        # 光线与平面平行

        return None

    else:

        t = numerator / denominator

        return t



# 示例数据

ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([1, 1, 1])  # 光线方向向量

plane_normal = np.array([0, 0, 1])  # 平面法向量

plane_constant = 1  # 平面常数项



# 计算交点

t = calculate_intersection(ray_origin, ray_direction, plane_normal, plane_constant)

if t is not None:

    intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

    print(f"交点位置: {
      
      intersection_point}")

else:

    print("光线与平面平行，没有交点")

光线追踪的算法

光线追踪算法通常分为两种：递归光线追踪和路径追踪。递归光线追踪通过递归调用处理多次反射和折射，而路径追踪则通过随机采样路径来计算光强分布。

递归光线追踪

递归光线追踪算法的基本思路是：

1. 从光源发射光线。

2. 计算光线与物体的交点。

3. 根据交点处的物理特性（反射、折射等）生成新的光线。

4. 递归调用光线追踪函数，直到光线不再进行反射或折射。

例子：递归光线追踪

def recursive_ray_trace(ray_origin, ray_direction, scene, depth=0):

    """

    递归光线追踪算法



    :param ray_origin: 光线的起点

    :param ray_direction: 光线的方向向量

    :param scene: 场景中的物体列表

    :param depth: 递归深度

    :return: 光线的颜色

    """

    if depth > MAX_DEPTH:

        return np.array([0, 0, 0])  # 达到最大深度，返回黑色

    

    closest_object = None

    closest_t = np.inf

    

    for obj in scene:

        t = obj.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

        if t is not None and t < closest_t:

            closest_t = t

            closest_object = obj

    

    if closest_object is None:

        return np.array([0, 0, 0])  # 没有交点，返回黑色

    

    intersection_point = ray_origin + closest_t * ray_direction

    color = closest_object.get_color(intersection_point)

    

    # 计算反射和折射光线

    reflected_ray = closest_object.calculate_reflection(ray_origin, ray_direction, intersection_point)

    refracted_ray = closest_object.calculate_refraction(ray_origin, ray_direction, intersection_point)

    

    if reflected_ray is not None:

        color += 0.5 * recursive_ray_trace(intersection_point, reflected_ray, scene, depth + 1)

    

    if refracted_ray is not None:

        color += 0.5 * recursive_ray_trace(intersection_point, refracted_ray, scene, depth + 1)

    

    return color



# 示例数据

scene = [

    Sphere(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, material=Material(reflectivity=0.5, refractivity=0.5)),

    Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=0, material=Material(reflectivity=0.3, refractivity=0.7))

]



ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([0, 0, 1])  # 光线方向向量

MAX_DEPTH = 5  # 最大递归深度



# 进行光线追踪

color = recursive_ray_trace(ray_origin, ray_direction, scene)

print(f"光线追踪结果: {
      
      color}")

路径追踪

路径追踪算法通过随机采样路径来计算光强分布。具体步骤包括：

1. 从光源发射光线。

2. 随机选择光线与物体的交点。

3. 根据交点处的物理特性（反射、折射等）生成新的光线。

4. 重复步骤2和3，直到光线到达接收面。

5. 汇总所有路径的光强分布。

例子：路径追踪

import random



def path_tracing(ray_origin, ray_direction, scene, samples=1000):

    """

    路径追踪算法



    :param ray_origin: 光线的起点

    :param ray_direction: 光线的方向向量

    :param scene: 场景中的物体列表

    :param samples: 路径样本数

    :return: 光线的颜色

    """

    total_color = np.array([0, 0, 0])

    

    for _ in range(samples):

        current_ray = (ray_origin, ray_direction)

        depth = 0

        

        while depth < MAX_DEPTH:

            closest_object = None

            closest_t = np.inf

            

            for obj in scene:

                t = obj.calculate_intersection(current_ray[0], current_ray[1])

                if t is not None and t < closest_t:

                    closest_t = t

                    closest_object = obj

            

            if closest_object is None:

                break

            

            intersection_point = current_ray[0] + closest_t * current_ray[1]

            color = closest_object.get_color(intersection_point)

            

            # 随机选择反射或折射光线

            if random.random() < closest_object.material.reflectivity:

                current_ray = (intersection_point, closest_object.calculate_reflection(current_ray[0], current_ray[1], intersection_point))

            elif random.random() < closest_object.material.refractivity:

                current_ray = (intersection_point, closest_object.calculate_refraction(current_ray[0], current_ray[1], intersection_point))

            else:

                break

            

            depth += 1

        

        total_color += color

    

    return total_color / samples



# 示例数据

scene = [

    Sphere(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, material=Material(reflectivity=0.5, refractivity=0.5)),

    Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=0, material=Material(reflectivity=0.3, refractivity=0.7))

]



ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([0, 0, 1])  # 光线方向向量

MAX_DEPTH = 5  # 最大递归深度



# 进行路径追踪

color = path_tracing(ray_origin, ray_direction, scene)

print(f"路径追踪结果: {
      
      color}")

光线追踪的应用案例

成像系统设计

成像系统设计是光线追踪的一个重要应用领域。通过对光学系统的光线追踪，可以预测成像质量、焦距、像差等参数。常见的成像系统包括相机镜头、显微镜、望远镜等。

例子：设计一个简单的透镜系统

class Lens:

    def __init__(self, center, radius, refractive_index, thickness):

        self.center = center

        self.radius = radius

        self.refractive_index = refractive_index

        self.thickness = thickness

    

    def calculate_intersection(self, ray_origin, ray_direction):

        # 计算光线与透镜的交点

        # 透镜可以假设为两个平面

        plane1 = Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=self.center[2])

        plane2 = Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=self.center[2] + self.thickness)

        

        t1 = plane1.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

        t2 = plane2.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

        

        if t1 is None or t2 is None:

            return None

        

        t = min(t1, t2)

        return t

    

    def calculate_refraction(self, ray_origin, ray_direction, intersection_point):

        # 计算光线在透镜中的折射

        # 使用斯涅尔定律

        n1 = 1.0  # 空气的折射率

        n2 = self.refractive_index  # 透镜材料的折射率

        

        cos_theta1 = np.dot(ray_direction, np.array([0, 0, 1]))

        sin_theta1 = np.sqrt(1 - cos_theta1**2)

        sin_theta2 = n1 / n2 * sin_theta1

        

        if sin_theta2 > 1.0:

            return None  # 全反射

        

        cos_theta2 = np.sqrt(1 - sin_theta2**2)

        refracted_direction = np.array([0, 0, -1]) * cos_theta2 + np.array([ray_direction[0], ray_direction[1], 0]) * sin_theta2

        

        return refracted_direction



# 示例数据

lens = Lens(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, refractive_index=1.5, thickness=1)

scene = [lens]



ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([0, 0, 1])  # 光线方向向量



# 进行光线追踪

t = lens.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

if t is not None:

    intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

    refracted_direction = lens.calculate_refraction(ray_origin, ray_direction, intersection_point)

    print(f"交点位置: {
      
      intersection_point}, 折射方向: {
      
      refracted_direction}")

else:

    print("光线没有与透镜相交")

照明设计

照明设计是光线追踪的另一个重要应用领域。通过对光线的仿真，可以预测照明系统的光强分布、均匀性、能效等参数。常见的照明系统包括汽车前灯、室内照明、舞台灯光等。

例子：设计一个简单的汽车前灯

class LightSource:

    def __init__(self, position, direction, intensity):

        self.position = position

        self.direction = direction

        self.intensity = intensity

    

    def emit_ray(self):

        # 从光源发射光线

        return (self.position, self.direction)



class Reflector:

    def __init__(self, center, radius, reflectivity):

        self.center = center

        self.radius = radius

        self.reflectivity = reflectivity

    

    def calculate_intersection(self, ray_origin, ray_direction):

        # 计算光线与反射面的交点

        # 假设反射面是球面

        oc = ray_origin - self.center

        a = np.dot(ray_direction, ray_direction)

        b = 2 * np.dot(ray_direction, oc)

        c = np.dot(oc, oc) - self.radius**2

        

        discriminant = b**2 - 4 * a * c

        if discriminant < 0:

            return None

        

        t1 = (-b + np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)

        t2 = (-b - np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)

        

        t = min(t1, t2)

        return t

    

    def calculate_reflection(self, ray_origin, ray_direction, intersection_point):

        # 计算光线在反射面的反射

        # 使用反射定律

        normal = (intersection_point - self.center) / np.linalg.norm(intersection_point - self.center)

        reflected_direction = ray_direction - 2 * np.dot(ray_direction, normal) * normal

        

        return reflected_direction



# 示例数据

light_source = LightSource(position=np.array([0, 0, 0]), direction=np.array([1, 0, 0]), intensity=1.0)

reflector = Reflector(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, reflectivity=0.9)

scene = [reflector]



# 发射光线

ray_origin, ray_direction = light_source.emit_ray()



# 进行光线追踪

t = reflector.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

if t is not None:

    intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

    reflected_direction = reflector.calculate_reflection(ray_origin, ray_direction, intersection_point)

    print(f"交点位置: {
      
      intersection_point}, 反射方向: {
      
      reflected_direction}")

else:

    print("光线没有与反射面相交")

光谱分析

光谱分析是光线追踪在光学设计中的另一个重要应用。通过对不同波长的光线进行仿真，可以预测光学系统的色散、光谱滤波等性能。

例子：光谱滤波器仿真

class Filter:

    def __init__(self, center, radius, transmission_spectrum):

        self.center = center

        self.radius = radius

        self.transmission_spectrum = transmission_spectrum  # 传输光谱数据，字典形式 {波长: 传输率}

    

    def calculate_intersection(self, ray_origin, ray_direction):

        # 计算光线与滤波器的交点

        # 假设滤波器是平面

        plane = Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=self.center[2])

        t = plane.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

        

        if t is not None:

            intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

            if np.linalg.norm(intersection_point - self.center) <= self.radius:

                return t

        return None

    

    def calculate_transmission(self, wavelength):

        # 计算特定波长的传输率

        if wavelength in self.transmission_spectrum:

            return self.transmission_spectrum[wavelength]

        else:

            return 0.0



# 示例数据

transmission_spectrum = {
    
    

    400: 0.1,  # 紫色

    500: 0.5,  # 绿色

    600: 0.9,  # 红色

}



filter = Filter(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, transmission_spectrum=transmission_spectrum)

scene = [filter]



# 发射光线

ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([0, 0, 1])  # 光线方向向量



# 进行光线追踪

t = filter.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

if t is not None:

    intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

    print(f"交点位置: {
      
      intersection_point}")

    

    # 计算不同波长的传输率

    wavelengths = [400, 500, 600]

    for wavelength in wavelengths:

        transmission = filter.calculate_transmission(wavelength)

        print(f"波长 {
      
      wavelength} nm 的传输率: {
      
      transmission}")

else:

    print("光线没有与滤波器相交")

非成像光学设计

非成像光学设计涉及到光的传输和分布，但不关注成像质量。常见的非成像光学系统包括太阳能聚光器、光纤耦合器等。光线追踪在这些系统中用于优化光能的传输效率和分布均匀性。

例子：太阳能聚光器设计

class SolarConcentrator:

    def __init__(self, center, radius, focal_length):

        self.center = center

        self.radius = radius

        self.focal_length = focal_length

    

    def calculate_intersection(self, ray_origin, ray_direction):

        # 计算光线与聚光器的交点

        # 假设聚光器是抛物面

        oc = ray_origin - self.center

        a = np.dot(ray_direction, ray_direction)

        b = 2 * np.dot(ray_direction, oc)

        c = np.dot(oc, oc) - self.radius**2

        

        discriminant = b**2 - 4 * a * c

        if discriminant < 0:

            return None

        

        t1 = (-b + np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)

        t2 = (-b - np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)

        

        t = min(t1, t2)

        return t

    

    def calculate_focal_point(self, intersection_point):

        # 计算光线在抛物面的焦点

        focal_point = self.center + np.array([0, 0, -self.focal_length])

        return focal_point



# 示例数据

solar_concentrator = SolarConcentrator(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, focal_length=2)

scene = [solar_concentrator]



# 发射光线

ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_direction = np.array([0, 0, 1])  # 光线方向向量



# 进行光线追踪

t = solar_concentrator.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

if t is not None:

    intersection_point = ray_origin + t * ray_direction

    focal_point = solar_concentrator.calculate_focal_point(intersection_point)

    print(f"交点位置: {
      
      intersection_point}, 焦点位置: {
      
      focal_point}")

else:

    print("光线没有与聚光器相交")

光线追踪的高级技术

漫反射和镜面反射

在实际的光学系统中，物体表面的反射特性通常分为漫反射和镜面反射。漫反射是指光线在物体表面的各个方向上均匀反射，而镜面反射则是指光线按照反射定律方向反射。光线追踪算法需要考虑这两种反射特性，以便更准确地模拟真实场景。

漫反射模型

漫反射通常用兰伯特模型来描述，公式如下：

$$I_r=I_i\cdot k_d\cdot \cos ({\theta }_i)$$

其中，$I_i$是入射光强，$k_d$是漫反射系数，${\theta }_i$是入射角。

镜面反射模型

镜面反射遵循反射定律，公式如下：

$$\mathbf{r}=\mathbf{d}-2(\mathbf{d}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$$

其中，$\mathbf{d}$是入射光线方向向量，$\mathbf{n}$是表面法向量，$\mathbf{r}$是反射光线方向向量。

光线追踪中的并行计算

为了提高光线追踪的效率，通常采用并行计算技术。并行计算可以利用多核CPU或GPU的并行处理能力，显著加快仿真速度。

例子：使用多线程进行光线追踪

import threading



def trace_ray(ray_origin, ray_direction, scene, result, index):

    """

    单个线程进行光线追踪



    :param ray_origin: 光线的起点

    :param ray_direction: 光线的方向向量

    :param scene: 场景中的物体列表

    :param result: 存储结果的列表

    :param index: 线程索引

    """

    closest_object = None

    closest_t = np.inf

    

    for obj in scene:

        t = obj.calculate_intersection(ray_origin, ray_direction)

        if t is not None and t < closest_t:

            closest_t = t

            closest_object = obj

    

    if closest_object is None:

        result[index] = np.array([0, 0, 0])  # 没有交点，返回黑色

    else:

        intersection_point = ray_origin + closest_t * ray_direction

        color = closest_object.get_color(intersection_point)

        result[index] = color



# 示例数据

scene = [

    Sphere(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, material=Material(reflectivity=0.5, refractivity=0.5)),

    Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=0, material=Material(reflectivity=0.3, refractivity=0.7))

]



ray_origin = np.array([0, 0, 0])  # 光线起点

ray_directions = [np.array([0, 0, 1]), np.array([0, 1, 1]), np.array([1, 0, 1])]  # 多个光线方向向量



# 使用多线程进行光线追踪

results = [None] * len(ray_directions)

threads = []



for i, ray_direction in enumerate(ray_directions):

    thread = threading.Thread(target=trace_ray, args=(ray_origin, ray_direction, scene, results, i))

    threads.append(thread)

    thread.start()



for thread in threads:

    thread.join()



print(f"多线程光线追踪结果: {
      
      results}")

实时光线追踪

实时光线追踪是近年来发展的重要技术，特别是在游戏和虚拟现实领域。通过优化算法和硬件加速，实时光线追踪可以实现在短时间内生成高质量的图像。

例子：使用GPU加速实时光线追踪

import cupy as cp



def gpu_ray_trace(ray_origins, ray_directions, scene, max_depth):

    """

    使用GPU进行光线追踪



    :param ray_origins: 光线的起点数组

    :param ray_directions: 光线的方向向量数组

    :param scene: 场景中的物体列表

    :param max_depth: 最大递归深度

    :return: 光线的颜色数组

    """

    num_rays = len(ray_origins)

    colors = cp.zeros((num_rays, 3), dtype=np.float32)

    

    for depth in range(max_depth):

        closest_objects = cp.full(num_rays, -1, dtype=np.int32)

        closest_ts = cp.full(num_rays, cp.inf, dtype=np.float32)

        

        for obj_idx, obj in enumerate(scene):

            ts = obj.calculate_intersection(ray_origins, ray_directions)

            closer_mask = ts < closest_ts

            closest_objects[closer_mask] = obj_idx

            closest_ts[closer_mask] = ts[closer_mask]

        

        valid_mask = closest_objects != -1

        if cp.sum(valid_mask) == 0:

            break

        

        for obj_idx, obj in enumerate(scene):

            mask = (closest_objects == obj_idx) & valid_mask

            if cp.sum(mask) > 0:

                intersection_points = ray_origins[mask] + closest_ts[mask, cp.newaxis] * ray_directions[mask]

                colors[mask] = obj.get_color(intersection_points)

                

                # 计算反射和折射光线

                reflected_directions = obj.calculate_reflection(ray_origins[mask], ray_directions[mask], intersection_points)

                refracted_directions = obj.calculate_refraction(ray_origins[mask], ray_directions[mask], intersection_points)

                

                if reflected_directions is not None:

                    colors[mask] += 0.5 * gpu_ray_trace(intersection_points, reflected_directions, scene, max_depth - depth - 1)

                

                if refracted_directions is not None:

                    colors[mask] += 0.5 * gpu_ray_trace(intersection_points, refracted_directions, scene, max_depth - depth - 1)

        

        ray_origins = intersection_points

        ray_directions = reflected_directions if reflected_directions is not None else refracted_directions

    

    return colors



# 示例数据

scene = [

    Sphere(center=np.array([0, 0, 5]), radius=1, material=Material(reflectivity=0.5, refractivity=0.5)),

    Plane(normal=np.array([0, 0, 1]), distance=0, material=Material(reflectivity=0.3, refractivity=0.7))

]



ray_origins = cp.array([[0, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 0, 0]])  # 多个光线起点

ray_directions = cp.array([[0, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 1]])  # 多个光线方向向量

MAX_DEPTH = 5  # 最大递归深度



# 使用GPU进行光线追踪

colors = gpu_ray_trace(ray_origins, ray_directions, scene, MAX_DEPTH)

print(f"GPU光线追踪结果: {
      
      colors}")

总结

光线追踪是一种强大的计算光学技术，广泛应用于光学设计和仿真中。通过模拟光线在不同介质中的传播、反射、折射等行为，光线追踪可以预测光学系统的性能，包括光强分布、成像质量、颜色表现等。本文介绍了光线追踪的基本概念、物理基础、数学模型和一些高级技术，包括漫反射和镜面反射、并行计算和实时光线追踪。通过这些技术，光线追踪在成像系统设计、照明设计、光谱分析和非成像光学设计等领域发挥着重要作用。未来的光线追踪技术将继续发展，为光学设计带来更多的可能性。