【自动控制原理】第五章频域分析法

1. 频率特性的定义及其应用

频率特性是整个频域分析法的基础！

频率特性定义：线性定常系统在正弦输入 $Asin\omega t$ 时，稳态输出 $y_{ss}(t)$ 与输入 $x(t)$ 的幅值比和相角差，称为系统的频率特性(一个复数)。

频率特性的得到方法： $s=j\omega$ 代入到系统的传递函数当中，再进行复数运算（乘，幅值相乘，相角相加；除，幅值相除，相角相减）

频率特性的组成部分：

①幅频特性 $A(\omega)$ ，频率特性这个复数对应的幅值，表示稳态输出和输入之间的幅值比随频率 $\omega$ 的变化关系。
②相频特性 $\varphi(\omega)$ ，频率特性这个复数所对应的相角，表示稳态输出和输入之间的相角差随频率 $\omega$ 的变化关系。

$j:90^\circ,j^2:180^\circ,j^3:270^\circ$

开环传递函数	代入 $s=j\omega$	幅频表达式	相频表达式
$\frac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}$	$\frac{K}{(T_1\omega j+1)(T_2\omega j+1)}$	$\frac{K}{\sqrt{\omega^2T_1^2+1}\cdot\sqrt{\omega^2T_2^2+1}}$	$-\arctan T_1\omega-\arctan T_2\omega$
$\frac{K(T_1s+1)(T_2s+1)}{s^3}$	$\frac{K(T_1\omega j+1)(T_2\omega j+1)}{(\omega j)^3}$	$\frac{K\sqrt{\omega^2T_1^2+1}\cdot\sqrt{\omega^2T_2^2+1}}{\omega^3}$	$\arctan T_1\omega+\arctan T_2\omega-270^\circ$

做题套路：

①写出闭环频率特性

②写出幅频和相频表达式

③代入输入信号的频率到幅频相频表达式中，得到幅值比和相角差

④结合输入的幅值和相角写出输出表达式

【计算题】单位反馈系统的开环传递函数为 $G(s)=\frac1{s+1}$ ，试根据频率特性的物理意义，求在输入信号为 $r(t)=\sin2t$ 作用下系统的稳态输出 $c_{ss}$ 和稳态误差 $e_{ss}$

【稳态输出 $c_{ss}$ 的求解】

①写出闭环频率特性

系统闭环传递函数 $\Phi(s)=\frac {G(s)}{1+G(s)}=\frac1{s+2}$
闭环频率特性为 $\Phi(j\omega)=\frac1{j\omega+2}=\frac1{\sqrt{\omega^{2}+4}}\angle-\arctan\frac\omega2$

②写出幅频和相频表达式

幅频特性为 $|\Phi(j\omega)|\rightarrow A(\omega)=\frac1{\sqrt{\omega^2+4}}$

相频特性为 $\angle\Phi(j\omega)\rightarrow\varphi(\omega)=-\arctan\frac\omega2$

③代入输入信号的频率到幅频相频表达式中，得到幅值比和相角差

$r(t)=\sin2t$ ，故 $\omega=2$ ， $A(2)=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\varphi(2)=-45^{\circ}$

④结合输入的幅值和相角写出输出表达式

由频率特性代表的物理意义可得

$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{|c|}{|r|}$ ，且 $|r|=1$ ，故 $|c|=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $-45^{\circ}=\angle c-\angle r$ ，且 $\angle r=0$ ，故 $\angle c=-45^{\circ}$ ，
$c_{ss}(t)=\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(2t-45^{\circ})$

【稳态误差 $e_{ss}$ 的求解】

①写出闭环频率特性

系统闭环误差传递函数 $\Phi _{e}( s) = \frac 1{1+ G( s) }= \frac {s+ 1}{s+ 2}$

闭环频率特性为 $\Phi_{\mathrm{c}}(j\omega)=\frac{j\omega+1}{j\omega+2}=\frac{\sqrt{\omega^{2}+1}}{\sqrt{\omega^{2}+4}}\angle\arctan\omega-\arctan\frac{\omega}{2}$

②写出幅频和相频表达式

幅频特性为 $|\Phi_{\mathrm{e}}(j\omega)|\rightarrow A_{\mathrm{e}}(\omega)=\frac{\sqrt{\omega^{2}+1}}{\sqrt{\omega^{2}+4}}$

相频特性为 $\angle\Phi_{e}(j\omega)\rightarrow \varphi_{e}(\omega)=\arctan\omega-\arctan\frac{\omega}{2}$

③代入输入信号的频率到幅频相频表达式中，得到幅值比和相角差

$r(t)=\sin2t$ ，故 $\omega=2,A_{\mathrm{c}}(2)=\frac{\sqrt{10}}{4},\varphi(2)=\arctan\frac{2-1}{1+2\cdot1}=\arctan\frac{1}{3}$

④结合输入的幅值和相角写出输出表达式

由频率特性的物理意义可得

$\frac {\sqrt {10}}4= \frac {| e| }{| r| }$ ，且 $| r| = 1$ ，故 $| e| = \frac {\sqrt {10}}4$ ， $\arctan\frac{1}{3}=\angle e-\angle r$ ，且 $\angle r=0$ ，故 $\angle e=\arctan\frac{1}{3}$ ， $e_{ss}( t) = \frac {\sqrt {10}}4\sin ( 2t+ \arctan \frac 13)$