【自动控制原理】第二章 数学模型（教材版）

其他 2025-04-08 07:35
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1. 微分方程

1.1. 线性(元件/系统)：微分方程列写

确定输入输出变量，依据物理化学定律写原始方程，消中间变量并标准化。

1.1.1. 【例题】RC 网络

对于如图所示的RC网络，已知输入电压为$u_r(t)$，输出电压为$u_c(t)$，有电阻R，电容C，列写其微分方程并化为标准形式。

输入变量：$u_r(t)$

输出变量：$u_c(t)$

原始方程：$u_c=\frac{1}{C}\int idt\Rightarrow i=C\frac{du_{c}}{dt}$(电容电流与电压关系)

原始方程：$u_r=Ri+u_{c}$(基尔霍夫电压定律)
消中间变量$i$：将$i=C\frac {du_c}{dt}$代入$u_i=Ri+u_c$得$u_i=RC\frac {du_c}{dt}+u_c$。

1.1.2. 【例题】RLC 电路

对于如图所示的RLC串联电路，输入为$u_r(t)$，输出为$u_c(t)$，有电阻R，电容C，电感L，求该电路的微分方程。

输入变量：u_r(t)

输出变量：u_c(t)

原始方程：$u_{c}=\frac{1}{C}\int idt$可得$i=C\frac{du_{c}}{dt}$，$\frac{di}{dt}=C\frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}}$;
原始方程： $u_{i}=L\frac{di}{dt}+Ri+u_{c}$(基尔霍夫电压定律)
消中间变量$i$和$\frac{di}{dt}$：将$i=C\frac{du_{c}}{dt}$和$\frac{di}{dt}=C\frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}}$代入$u_{i}=L\frac{di}{dt}+Ri+u_{c}$得$u_{i}=LC\frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}}+RC\frac{du_{c}}{dt}+u_{c}$

1.1.3. 【例题】弹簧质量阻尼器系统

弹簧质量阻尼器系统如图所示，外力$F(t)$作用于质量$m=2kg$的物体上弹簧刚度$k=50N/m$，阻尼系数$f=10N\cdot s/m$，以位移$x(t)$为输出，列写微分方程。

输入变量：外力$F(t)$

输出变量：位移$x(t)$

根据牛顿第二定律写原始方程：$F(t)-F_1(t)-F_2(t)=m\frac{d^2x}{dt^2}$,其中$F_1(t)$为弹簧恢复力，$F_2(t)$为阻尼器阻力。
确定弹簧恢复力和阻尼器阻力表达式：假设弹簧是线性的，则$F_1(t)=kx$;假设阻尼器阻力与速度成正比，则$F_2(t)=f\frac {dx}{dt}$。
代入原始方程并整理：将$F_1(t)=kx$和$F_2(t)=f\frac dx{dt}$代入$F(t)-F_{1}(t)-F_{2}(t)=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$,得到$F(t)-kx-f\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$,整理可得$\frac mk\frac{d^2x}{dt^2}+\frac fk\frac{dx}{dt}+x=\frac1kF(t)$

令$\omega_n=\sqrt{\frac mk}$，$\zeta=\frac f{2\sqrt{mk}}$，$K=\frac1k$则方程为$\omega_n^{2}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\zeta\omega_{n}\frac{dx}{dt}+x=KF(t)$，这是二阶微分方程。

1.1.4. 【例题】枢控他励直流电机

枢控他励直流电机系统如图所示，输入为电枢电压$u_a(t)$，输出为电机角速度$\omega(t)$，列写该电机系统的微分方程。

1.1.5. 【例题】速度控制系统

速度控制系统结构如图所示，列写该系统的微分方程。

2.2. 线性：微分方程求解

求解方法：经典法，拉普拉斯变换法（拉氏变换法），计算机求解法。

2.2.1. 拉氏变换

拉氏变换是一种数学工具，它能把一个随时间变化的函数（比如在控制系统里，电压、电流、位移等随时间变化的物理量）变成一个用复变量s表示的函数。这样做的好处是，它把复杂的微积分运算变成了相对简单的代数运算，就像把一道难题变成了一道简单题，让我们更容易求解。

定义

对于一个函数$f(t),t\geqslant0$，它的拉氏变换$F(s)$定义为：$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$，其中$s=\sigma+j\omega$是一个复数变量 ($\sigma$和$\omega$分别是实部和虚部)。

拉氏变换常用公式

线性性质

 L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]

微分性质

 $L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$$L[\frac{d^nf(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$

积分性质

 $L[\int_0^tf(\tau)d\tau]=\frac{F(s)}{s}$

拉氏变换的性质

1.线性性质

如果$\mathcal{L}\{f_1(t)\}=F_1(s),\mathcal{L}\{f_2(t)\}=F_2(s)$，那么对于任意常数$a$和$b$，有

$\mathcal{L}\{af_1(t)+bf_2(t)\}=aF_1(s)+bF_2(s)$

2.微分性质

如果$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$，那么

$\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=sF(s)-f(0)$

$\mathcal{L}\left\{\frac{d^nf(t)}{dt^n}\right\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$

3. 积分性质
$\mathcal{L}\left\{\int_0^tf(\tau)d\tau\right\}=\frac{F(s)}{s}$

拉氏反变换

拉氏反变换是从$F(s)$得到$f(t)$的过程，记为$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$。对于简单的函数形式，可以通过查找拉氏变换表来进行反变换。对于复杂的函数，可能需要使用部分分式展开等方法将其分解为可以查表的形式。例如，如果$F(s)=\frac As+\frac B{s+a}$，那么$f(t)=A+Be^{-av}$。

2.2.2. 【例题】RC网络

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