本文涉及知识点
【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例
较难理解的字符串查找算法KMP
P3193 [HNOI2008] GT考试
题目描述
阿申准备报名参加 GT 考试，准考证号为 N N N 位数 X 1 , X 2 … X n ( 0 ≤ X i ≤ 9 ) X_1,X_2…X_n\ (0\le X_i\le 9) X1,X2…Xn (0≤Xi≤9)，他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数字 A 1 , A 2 , ⋯ , A m ( 0 ≤ A i ≤ 9 ) A_1,A_2,\cdots, A_m\ (0\le A_i\le 9) A1,A2,⋯,Am (0≤Ai≤9) 有 M M M 位，不出现是指 X 1 , X 2 ⋯ X n X_1,X_2\cdots X_n X1,X2⋯Xn 中没有一段恰好等于 A 1 , A 2 , ⋯ , A m A_1,A_2,\cdots ,A_m A1,A2,⋯,Am， A 1 A_1 A1 和 X 1 X_1 X1 可以为 0 0 0。
输入格式
第一行输入 N , M , K N,M,K N,M,K 接下来一行输入 M M M 位的数。
输出格式
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模 K K K 取余的结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 3 100
111
输出 #1
81
说明/提示
数据范围及约定
对于全部数据， N ≤ 1 0 9 N\leq10^9 N≤109， M ≤ 20 M\leq 20 M≤20， K ≤ 10000 K\leq10000 K≤10000。
P3193 矩阵快速幂
dp[i][j]表示处理完前i位，j是已经处理的X和A的最长公共后缀、前缀。i ∈ \in ∈[0,N],j ∈ \in ∈[0,M]。
dp[i] × \times ×mat = dp[i+1]求mat：
两层循环，第一层枚举j，第二层枚举求0到9。暴力求新j1，mat[j]j1]=1。时间复杂度：O(MM)。总时间复杂度：O(MMM ∑ \sum ∑)。
用KMP可以将时间压缩到O(MM ∑ \sum ∑)
我们将dp[i][M]含义改为：已经处理的X，任意子串和M相同。故：
mat[?][M]不变，mat[M][?]=0 mat[M][M]=10
pre[0]=1，其它全为0。pre matN=ans。ans[0…m-1]之和就是答案就是答案。
时间复杂度：O(MMMlogN)
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
scanf("%d", &n);
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {
}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) {
return; }
if (m_bFinish) {
return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) {
m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {
}
// 矩阵乘法
vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
assert(iK == b.size());
vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
for (int i = 0; i < r; i++)
{
for (int j = 0; j < c; j++)
{
for (int k = 0; k < iK; k++)
{
ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
}
}
}
return ret;
}
// 矩阵快速幂
vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
vector<vector<T>> res = a;
for (; n; n /= 2) {
if (n % 2) {
res = multiply(res, b);
}
b = multiply(b, b);
}
return res;
}
vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str)
{
for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
const int t = str[i] - '0';
pre = pow(pre, mat, t);
mat = pow(mat, mat, 9);
}
return pre;
}
vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
{
vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
return multiply(a, b);
}
protected:
const T m_llMod;
};
class Solution {
public:
int Ans(long long n, string not1, int MOD) {
const int M = not1.length();
vector<vector<long long>> mat(M + 1, vector<long long>(M + 1));
auto Is = [&](int begin, int preLen, char ch) {
int j = 0;
for (int i = begin; i < preLen; i++, j++) {
if (not1[i] != not1[j]) {
return 0; }
}
if (not1[j] != ch) {
return 0; }
return j + 1;
};
auto Len = [&](int preLen, char ch) {
int ans = 0;
for (int b = 0; b <= preLen; b++) {
ans = max(ans, Is(b, preLen, ch));
}
return ans;
};
mat[M][M] = 1;
for (int i = 0; i < M; i++) {
for (char ch = '0'; ch <= '9'; ch++) {
mat[i][Len(i, ch)]++;
}
}
vector<vector<long long>> pre(1, vector<long long>(M + 1));
pre[0][0] = 1;
CMatMul<> matMul(MOD);
auto matAns = matMul.pow(pre, mat, n);
long long llAns = accumulate(matAns[0].begin(), matAns[0].end() - 1, 0LL);
return llAns % MOD;
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0);
int N, M,MOD;
string str;
cin >> N >> M >> MOD;
cin >> str;
auto res = Solution().Ans(N,str,MOD);
cout <<res << "\n";
#ifdef _DEBUG
//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);
//Out(edge, "edge=");
//Out(fish, ",fish=");
/*Out(edge, "edge=");
Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG
return 0;
}
单元测试
TEST_METHOD(TestMethod1)
{
auto res = Solution().Ans(1, "111", 100);
AssertEx(10, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod2)
{
auto res = Solution().Ans(2, "000", 100);
AssertEx(0, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod3)
{
auto res = Solution().Ans(3, "111", 100);
AssertEx(99, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod4)
{
auto res = Solution().Ans(4,"111",100);
AssertEx(81, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod5)
{
auto res = Solution().Ans(1000000000, "1010100110011000001", 9973);
AssertEx(5753, res);
}
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视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。