二分

❗❗❗❗二分查找的前提是被查找的数据必须有二段性

如何理解这句话呢？

举个例子，在数组[1, 5 , 8, 9, 23, 25, 40]里找9

我可以让check标准为<=9，则转化为找数组中<=9最大值

对于9左边的数，均小于等于9,而对于9右边的数，均大于9

目标答案的两边一边满足check一边不满足check，这便是二段性的含义

绝大多数时候，二段性均不明显，需要通过自行定义check标准把二段性弄出来，需要积累一定的题量

核心思想

二分查找通过不断缩小查找范围，每次将范围缩小一半，最终定位目标元素的位置。

算法思路

1. 初始化边界

2. 进入二分，check(mid)

3. 重复操作

核心：不断折半

折半查找的关键在于通过不断折半查找区间，可以大幅度减少查找次数，效率为 O(log n)

代码模板：

二分的模板不唯一，关键就是要判断好循环终止条件和划分好折半区间的边界，避免死循环

这里放一个我一直在用的模板

整数二分

// 模板1：check选左
bool check(int x)
{
    
    
	// 定义check标准
	if (……) return false;
	return true;
}

int main()
{
    
    
    int l = L, r = R; // 初始化边界
    int mid;
    while (l < r)
    {
    
    
        mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    cout << l << endl;
}

// 模板2: check选右
bool check(int x)
{
    
    
	// 定义check标准
	if (……) return false;
	return true;
}

int main()
{
    
    
    int l = L, r = R;
    int mid;
    while (l < r)
    {
    
    
        mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }

    cout << l << endl;
}

小数二分

bool check(double x)
{
    
    
	// 定义check标准
	if (……) return false;
	return true;
}

int main()
{
    
    
	const double eps = 1e-6; // 设置精度
	double l = L, r = R;
	double mid;
	while (r - l > eps)
    {
    
    
    	mid = (l + r) / 2;
    	if (check(mid)) r = mid;
    	else l = mid;
    }
}

例题

洛谷P1083 借教室

题目描述

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来 $n$ 天的借教室信息，其中第 $i$ 天学校有 $r_i$ 个教室可供租借。共有 $m$ 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 $d_j,s_j,t_j$，表示某租借者需要从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天租借教室（包括第 $s_j$ 天和第 $t_j$ 天），每天需要租借 $d_j$ 个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 $d_j$ 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 $s_j$ 天到第 $t_j$ 天中有至少一天剩余的教室数量不足 $d_j$ 个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，表示天数和订单的数量。

第二行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数为 $r_i$，表示第 $i$ 天可用于租借的教室数量。

接下来有 $m$ 行，每行包含三个正整数 $d_j,s_j,t_j$，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 $1$ 开始的整数编号。

$1\le n,m\le 10^6,0\le r_i,d_j\le 10^9,1\le s_j\le t_j\le n$

输出格式

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 $0$。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数 $-1$，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

样例输入 #1

4 3 
2 5 4 3 
2 1 3 
3 2 4 
4 2 4

样例输出 #1

-1 
2

思路

$题目给的变量比较多，大致是这个意思$

$已知n天的课室数量分布，m份订单,每份订单交代了s_i\sim t_i天需要r_i个课室$

$从第1份订单往后处理，判断哪个订单开始满足不了$​

$朴素想法是枚举第1\sim m份订单，然后判断加了订单之后1\sim n天有没有哪天是满足不了的$

$复杂度O(m\times n)\sim 10^{12},显然需要优化$

$刚好二分可以带来一个log的优化，m\Rightarrow logm$ $O((m+n)\times logm)\sim 10^7,刚好在允许范围内$

$二分思路：无法满足的最早的一笔订单$

$这份订单前的订单都可以满足,(包括)这份订单之后的都无法满足,符合二段性$

$这里可以用差分组优化,来存储前i份订单的数据$

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
LL R[N]; // 每天的课室数
LL b[N]; // n天需要教室数量的差分数组

struct {
	LL d;
	int s, t;
} T[N]; // 订单

bool check(int x)
{
	// 判断前x份订单是否能满足

	// 重置差分数组
	memset(b, 0, sizeof b);
	for (int i = 1; i <= x; i++)
		b[T[i].s] += T[i].d, b[T[i].t + 1] -= T[i].d;

	// 差分数组求前缀和得每天需求量
	for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];

	// 检测是否哪天完不成
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (b[i] > R[i]) return true;

	return false;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n >> m;

	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> R[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> T[i].d >> T[i].s >> T[i].t;

	// 开始二分
	int l = 1, r = m + 1;
	int mid;
	while (l < r)
	{
		// 找到无法满足的订单里最小的一笔
		mid = l + r >> 1;
		if (check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}

	// 都可满足
	if (l == m + 1) puts("0");
	else cout << -1 << endl << l << endl;

	return 0;
}

:::

洛谷P3743 小鸟的设备

题目描述

小鸟有 $n$ 个可同时使用的设备。第 $i$ 个设备每秒消耗 $a_i$ 个单位能量。能量的使用是连续的，也就是说能量不是某时刻突然消耗的，而是匀速消耗。也就是说，对于任意实数，在 $k$ 秒内消耗的能量均为 $k\times a_i$ 单位。在开始的时候第 $i$ 个设备里存储着 $b_i$ 个单位能量。

同时小鸟又有一个可以给任意一个设备充电的充电宝，每秒可以给接通的设备充能 $p$ 个单位，充能也是连续的，不再赘述。你可以在任意时间给任意一个设备充能，从一个设备切换到另一个设备的时间忽略不计。

小鸟想把这些设备一起使用，直到其中有设备能量降为 $0$。所以小鸟想知道，在充电器的作用下，她最多能将这些设备一起使用多久。

输入

第一行给出两个整数 $n,p$。

接下来 $n$ 行，每行表示一个设备，给出两个整数，分别是这个设备的 $a_i$ 和 $b_i$​。

$1\le n\le 100000$，$1\le p\le 100000$，$1\le a_i,b_i\le 100000$。

输出格式

如果小鸟可以无限使用这些设备，输出 $-1$。

否则输出小鸟在其中一个设备能量降为 $0$ 之前最多能使用多久。

设你的答案为 $a$，标准答案为 $b$，只有当 $a,b$ 满足
$\frac{|a-b|}{\max (1,b)}\le 10^{-4}$ 的时候，你能得到本测试点的满分。

样例输入 #1

2 1
2 2
2 1000

样例输出 #1

2.0000000000

样例输入 #2

1 100
1 1

样例输出 #2

-1

样例输入 #3

3 5
4 3
5 2
6 1

样例输出 #3

0.5000000000

思路

$能量连续使用，提醒我们这是小数二分$

$二分思路:找到无法使用的最短时间$

代码如下

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const double eps = 1e-6; //设置精度
const int N = 1e5 + 10;

int n;
double p;
double a[N], b[N];

bool check(double x)
{
    // 不能完成返回真,能完成返回假
    double res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res -= min(b[i] - a[i] * x, 0.0);
    }

    return res > p * x;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n >> p;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i];

    double l = 0, r = 10000000001; // 设置最大边界,估一下大概在10^10量级
    double mid;
    while (r - l > eps)
    {
        // 二分无法使用的最小值
        mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }

    if (r > 10000000000) puts("-1");
    else cout << l << endl;

    return 0;
}

洛谷P9240 冶炼金属

进阶一点

洛谷P1314 聪明的质监员

洛谷P1948 Telephone Lines S $\Rightarrow 找一条连接起点终点的路径，使得第k+1长的边最小\to 2分+dijkstra$