自动控制：微分先行PID控制算法

微分先行PID控制算法是一种改进型的PID控制策略，其特点是只对被控量 $y(k)$ 进行微分，而不对偏差 $e(k)$ 进行微分，即给定值 $r(k)$ 无微分作用。这种控制策略适用于给定值频繁升降的场合，可以避免给定值升降所引起的系统振荡，明显改善系统的动态特性。

微分先行PID控制算法理论

传统PID控制器的控制律为：

$$u(t)=K_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}$$

其中：

• $u(t)$ 是控制输入
• $e(t)=r(t)-y(t)$ 是误差信号
• $K_p$ 是比例增益
• $K_i$ 是积分增益
• $K_d$ 是微分增益

在传统PID控制器中，微分项对误差信号 $e(t)$ 进行微分。当给定值 $r(t)$ 频繁变化时，误差信号 $e(t)$ 的微分会引起较大的控制输入波动，导致系统振荡。

微分先行PID控制器

微分先行PID控制器通过对被控量 $y(k)$ 进行微分，避免了给定值频繁变化对系统的影响。其控制律为：

$$u(t)=K_{p}e(t)+K_i\int e(t)dt-K_d\frac{dy(t)}{dt}$$

其中：

• $\frac{dy(t)}{dt}$ 是被控量 $y(t)$ 的微分

公式推导

微分先行PID控制器的控制律可以通过以下步骤推导得到：

1. 定义误差信号：

$$e(t)=r(t)-y(t)$$

其中，$r(t)$ 是期望输出，$y(t)$ 是实际输出。

2. 计算比例项：

$$P(t)=K_{p}e(t)$$

3. 计算积分项：

$$I(t)=K_i\int e(t)dt$$

4. 计算被控量的微分项：

$$D(t)=-K_d\frac{dy(t)}{dt}$$

5. 综合控制律：

$$u(t)=P(t)+I(t)+D(t)$$

Python代码示例

下面是一个实现微分先行PID控制器的Python代码示例。假设我们有一个简单的温度控制系统，通过微分先行PID控制器保持系统温度在期望值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义系统参数
dt = 0.1  # 时间步长
t = np.arange(0, 20, dt)  # 时间数组
n = len(t)

# 初始化状态变量
temperature = np.zeros(n)  # 系统温度
desired_temperature = np.zeros(n)  # 期望温度
desired_temperature[100:] = 50  # 期望温度从时间t=10s开始为50
external_disturbance = np.sin(t) * 5  # 外界扰动

# 控制器参数
Kp = 2.0  # 比例增益
Ki = 1.0  # 积分增益
Kd = 0.5  # 微分增益

# 初始化误差变量
e_prev = 0  # 上一时刻的误差
integral = 0  # 误差积分
y_prev = 0  # 上一时刻的输出

# 模拟系统
for i in range(1, n):
    # 计算误差
    e = desired_temperature[i] - temperature[i-1]
    
    # 误差积分
    integral += e * dt
    
    # 被控量的微分项
    derivative = (temperature[i-1] - y_prev) / dt
    
    # 微分先行PID控制器
    u = Kp * e + Ki * integral - Kd * derivative
    
    # 更新系统温度
    temperature[i] = temperature[i-1] + (u + external_disturbance[i]) * dt
    
    # 更新上一时刻的误差和输出
    e_prev = e
    y_prev = temperature[i-1]

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, desired_temperature, label='Desired Temperature')
plt.plot(t, temperature, label='Actual Temperature')
plt.plot(t, external_disturbance, label='External Disturbance')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature')
plt.legend()
plt.title('Derivative Leading PID Control for Temperature System')
plt.grid(True)
plt.show()

代码解释

1. 系统参数和时间数组：定义了时间步长 dt 和时间数组 t，用来模拟系统在一段时间内的行为。
2. 状态变量初始化：初始化了系统温度 temperature、期望温度 desired_temperature 和外界扰动 external_disturbance。
3. 控制器参数：定义了微分先行PID控制器的比例增益 Kp、积分增益 Ki 和微分增益 Kd。
4. 误差变量初始化：初始化了上一时刻的误差 e_prev、误差积分 integral 和上一时刻的输出 y_prev。
5. 系统模拟：通过迭代计算，在每个时间步长内根据微分先行PID控制律计算控制输入，并更新系统温度。
6. 结果绘制：使用 matplotlib 绘制系统温度、期望温度和外界扰动的变化曲线。

结论

微分先行PID控制器通过对被控量进行微分，避免了给定值频繁变化对系统的影响，从而减少了控制输入的波动，提高了系统的稳定性和响应速度。在实际应用中，微分先行PID控制器适用于给定值频繁升降的场合，能够显著改善系统的动态特性。结合Python代码示例，可以更直观地理解微分先行PID控制器的基本原理和实现方法。