树状数组基础

解决问题

1.树状数组可以解决“动态修改动态查询区间和”的问题(前缀和是多次修改完多次查询)，不过一般解决单点修改+区间查询问题
2.树状数组先要了解lowbit操作，这是一种二进制操作，取一个数字二进制表达中最低位的1以及后面所有的0，例如:
lowbit(4)=lowbit(100)=100=4
lowbit(6)=lowbit(110)=10=2
lowbit函数代码:

int lowbit(int x){
	return x & -x;
}

3.树状数组即一个数组int t[N]，表示为$$t[i]=\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^{i}a[i]$$
即维护一个长为lowbit(x)的[x-lowbit[x]+1,x]的区间和
4.单点修改函数,如下图，修改a[3]+k,就是t[3]+k,t[4]+k,t[8]+k,而3+lowbit(3)=4,4+lowbit(4)=8,直到小于等于n

//给a[k]增加x
void update(int k,int x){
	for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)){
		t[i]+=x;
	}
}

5.区间查询函数:如下图，查询区间[3,7],即获得[1,7]-[1,2],而[1,7]=t[7]+t[6]+t[4],而7-lowbit(7)=6,6-lowbit(6)=4，直到为0(不能等于0，不然死循环，所以树状数组开始不能为0)

//获取[1,k]的区间和
void getprefix(int k){
	int res=0;
	for(int i=k;i>0;i-=lowbit(i)){
		res+=t[i];
	}
	return res;
}

![[树状数组.png]]

殷老师排队

学习:
(1)记得输入a[i]的时候**update(i,a[i])初始化t数组**
(2)单点修改不仅要调用update函数，还有记得修改a[i]数组
代码:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],t[N],n,m;

int lowbit(int x){
	return x & (-x);
}

//第x个学生的魅力值增加k 
void update(int x,int k){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		t[i]+=k;
	}
} 

//获取[1,x]的学生的魅力值和
int getprefix(int x){
	int res=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
		res+=t[i];
	}
	return res;
} 


int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]); //初始化t数组 
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op;
		cin>>op;
		if(op==1){
			int x,z;
			cin>>x>>z;	
			update(x,z-a[x]);
			a[x]=z; //记得更新a[x] 
		}
		else{
			int x;
			cin>>x;
			cout<<(2*x-n)*a[x]+getprefix(n)-2*getprefix(x)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

拼十字

学习:
(1)此题暴力筛选会超时，充要条件是矩形 1 的长度严格大于矩形 2 的长度并且矩形 1 的宽度严格小于矩形 2 的宽度，就可以给结构体矩形首先按长度降序排列(如果长度一样则按宽度降序排列，保证不会选这两个),然后问题就转化为求宽度小于当前矩形的宽度的矩形数量和,就可以以宽度为索引id，a[i]表示宽度为i的矩形数量，输入一个矩形就是单点增加a[i]+1,查询就是[1,宽度i-1]的数量前缀和，单点修改+区间查询可以用动态数组解决
(2)而三种颜色就是三个树状数组，用类来解决
(3)类构造初始化列表:

Tree(ll size):t(size+1,0){}	

等价于:

Tree(ll size){t.resize(size+1,0);}

代码:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
int n;
ll ans;

class Tree{
	private:
		vector<ll> t;
	public:
	Tree(ll size):t(size+1,0){}	// 使用初始化列表
	//Tree(ll size){t.resize(size+1,0);}// 使用 resize 初始化
	int lowbit(int x){
		return x & (-x);
	} 
	//宽度x的数量++ 
	void update(int x){
		for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)){ //宽度最大到N,不是n 
			t[i]++;
		}
	}
	//返回[1,x]的和
	ll get(int x){
		ll res=0;
		for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
			res+=t[i];
		}
		return res;
	} 
};

struct Rec{
	int l,w,c;
}r[N];

bool cmp(Rec &r1,Rec &r2){
	if(r1.l!=r2.l)	return r1.l>r2.l; //降序排列，树状数组即求小于当前宽度的矩形个数即可
	//相等则按宽度降序排列，保证不会考虑到
	return r1.w>r2.w; 
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>r[i].l>>r[i].w>>r[i].c;
	}
	sort(r+1,r+n+1,cmp);
	//初始化三个颜色的树状数组 
	Tree T_R(N); //宽度为索引 
	Tree T_Y(N);
	Tree T_B(N);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(r[i].c==0){
			ans= (ans+T_Y.get(r[i].w-1)+T_B.get(r[i].w-1))%mod;
			T_R.update(r[i].w);
		}
		else if(r[i].c==1){
			ans= (ans+T_R.get(r[i].w-1)+T_B.get(r[i].w-1))%mod;
			T_Y.update(r[i].w);
		}
		else{
			ans= (ans+T_R.get(r[i].w-1)+T_Y.get(r[i].w-1))%mod;
			T_B.update(r[i].w);
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}