位运算

1.要点

与:&
或:|
异或:^
非:~
异或运算性质:
(1)x^x=0
(2)x^0=x
(3)a^b^b=a(1,2推出)
(4)a^b=c->a=b^c(两侧同异或b)
位运算按补码计算

• 正数的补码就是正数本身；
• 负数的补码 = 负数的绝对值正数补码取反 + 1
  正数右移要用unsigned int最后才会变0(int高位补1)
  (1)将一个数乘（除） 2 的非负整数次幂
  x<<i(乘以2的i次方) x>>i(除以2的i次方)
  (2)判断数字奇偶性:
  x&1(x为奇数,二进制最后一位为1,x&1=1,反之x为偶数,二进制最后一位为0,x&1=0.优化x%2)
  (3)判断数字某一位1还是0:
  (x>>i) & 1
  (3)修改二进制中的某一位
  1.改为1
  x | (1<<i)(将x从右数第i位改为1)
  x:10010
  1<<3:01000
  结果:11010
  2.改为0(将x从右数第i位改为0)
  x & ~(1<<i):11010
  1<<3:01000
  ~(1<<3):10111
  结果:10010
  (4)快速判断一个数字是否为2的幂次方
  x & (x-1)（若为0，x是2的幂次方，反之不是)
  x:00100
  x-1:00011
  x & (x-1):00000
  x为2的幂次方，x-1肯定借位，最终0和1错位，结果为0
  x:00110
  x-1:00101
  x & (x-1):00100!=0
  x不是2的幂次方,x-1不会借最高的1位，最终里面肯定有个1,结果不为0
  (5)获取二进制位中最低位的1
  lowbit(x)=x & -x
  x:010010(18)
  -x:101101+1=101110(负数的绝对值取反 + 1)
  lowbit(x):000010

2.题目

2023异或和之和

重点:
(1)构造异或前缀和，利用上面异或的性质4，最终不是prefix[r]-prefix[l-1],而是prefix[r]^prefix[l-1],可以得90分
(2)优化：异或为位运算，考虑按位运算优化，考虑每一位0或1对当前位的贡献度(只有0^1=1）.题目条件0-20位，对于每一位j,对于prefix[i],若prefix[i]=0,则算前面有多少个1，加上这个个数，就是这个0对这一位的贡献度，最终的和就表示有多少组0和1配对，就是当前位所有异或产生1的情况，然后次数乘上当前位的权重(cnt*(1<<j))
代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
ll a[N],n,prefix[N];
ll res;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		prefix[i]=prefix[i-1]^a[i];
	}
	/*
	for(int l=1;l<=n;l++){
		for(int r=l;r<=n;r++){
			res+=prefix[r]^prefix[l-1];
		}
	}
	*/
	for(int j=0;j<=20;j++){ //A_i<=2^20
		int cnt0=0,cnt1=0; //0出现个数，1出现个数 
		ll cnt=0;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if( (prefix[i]>>j) & 1 ){ //当前位为1,cnt加上前面0的个数，1出现个数++ 
				cnt+=cnt0;
				cnt1++;
			}          
			else{
				cnt+=cnt1;
				cnt0++;
			} 						  //当前位为0,cnt加上前面1的个数，0出现个数++
		}
		res+=(ll)cnt*(1<<j);		  //当前位的贡献度*当前位权重 
	}
	cout<<res;
	return 0;
}