前缀的核心思想是预处理，可以在暴力枚举的过程中，快速查询出某一段区间内的和，从而优化时间复杂度。是经典的用空间替换时间的做法。
1.【模板】前缀和
解法：前缀和
前缀和模板题，直接套用「公式」创建前缀和数组，然后利用前缀和数组的「性质」处理 q 次查询。
- 创建前缀和数组：f[i] = f[i − 1] + a[i]。
2. 查询 [l, r] 区间和：f[r] − f[l − 1]。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, q;
LL a[N];
LL f[N]; //前缀和数组
int main()
{
cin >> n >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
//预处理前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = f[i - 1] + a[i];
}
//处理 q 次查询
while(q--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << f[r] - f[l - 1] << endl;
}
return 0;
}
2.最大子段和
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解法：前缀和
考虑以 i 位置的元素 a[i] 「为结尾」的最大子段和：
- 在求「区间和」时，相当于是用 f[i] 减去 i 位置前面的某一个 f[x]。
- 如果想要「最大子段和」，也就是「最大区间和」，那么用 f[i] 减掉一个「前驱最小值」即可。因此，我们可以创建 a 数组的「前缀和」数组，然后在遍历前缀和数组的过程中，一边「更新前驱最小值」，一边「更新当前位置为结尾的最大子段和」。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
int f[N]; //前缀和数组
int main()
{
cin >> n;
//预处理前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int x; cin >> x;
f[i] = f[i - 1] + x;
}
int ret = -0x3f3f3f3f;
int prevmin = 0;
//处理最大子段和
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
ret = max(ret, f[i] - prevmin);
prevmin = min(prevmin, f[i]);
}
cout << ret << endl;
return 0;
}
3.【模板】二维前缀和
解法：前缀和
二维前缀和模板题，直接套用「公式」创建前缀和矩阵，然后利用前缀和矩阵的「性质」处理 q 次查询。
- 创建前缀和矩阵：f[i][j] = f[i − 1][j] + f[i][j − 1] − f[i − 1][j − 1] + a[i][j]。
- 查询以 (x1, y1) 为左上角，(x2, y2) 为右下角的子矩阵的和。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m, q;
LL f[N][N]; //前缀和矩阵
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
//预处理前缀和矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
int x; cin >> x;
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + x;
}
}
//处理 q 次查询
while(q--)
{
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
}
return 0;
}
4.激光炸弹
解法：前缀和
可以用一个二维矩阵将所有目标的价值存起来，其中 a[i][j] 就表示 [i, j] 位置的目标价值之和。一颗炸弹能够获得的价值正好是一个 R × R 大小的一个正方形内所有目标的价值总和，那么我们可以求出 a 矩阵的前缀和矩阵，然后枚举所有边长为 R 的子正方形的价值之和，求出里面的最大值即可。
如何枚举边长为 R 的所有正方形：
- 仅需枚举右下角 [x2, y2]，那么结合边长 R 就可算出左上角 [x2 − R + 1, y2 − R + 1]。
- 代入前缀和矩阵中，就可以快速求出这个正方形内所有目标的总价值。
细节问题：
- 题目中某一个位置会「重复」出现，因此 a[i][j] += w。
- 半径 R 可能「超过 5000 」 ，此时炸弹可以摧毁所有目标，也就是整个矩阵的目标价值之和。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 10;
int n, m;
int a[N][N];
int f[N][N]; //前缀和矩阵
int main()
{
cin >> n >> m;
while(n--)
{
int x, y, v; cin >> x >> y >> v;
x++; y++; //从下标为 1 开始计数
a[x][y] += v; //同一个位置有可能有多个目标
}
n = 5001;
//预处理前缀和矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + a[i][j];
}
}
int ret = 0;
m = min(m, n); //如果 m 很大，相当于就是将整个区域全部摧毁了
//枚举所有边长为 m 的正方形
for(int x2 = m; x2 <= n; x2++)
{
for(int y2 = m; y2 <= n; y2++)
{
int x1 = x2 - m + 1, y1 = y2 - m + 1;
ret = max(ret, f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1]);
}
}
cout << ret;
return 0;
}