干货：数字均衡器的原理、设计与仿真

数字均衡器：原理、设计与仿真

摘要

本文详细介绍数字均衡器的核心原理，包括频域修正机制及滤波器结构，分析FIR与IIR两类均衡器的特性。阐述峰形均衡器、图示均衡器等常见类型的实现方式，推导二阶IIR均衡器的传递函数与差分方程。结合双线性变换法展示参数化设计流程，提供基于Python的完整仿真代码，通过频谱分析验证均衡器对多频信号的增益控制效果。代码兼容NumPy/Scipy生态系统，包含可视化对比图表。

1. 数字均衡器原理

数字均衡器通过改变信号频响特性实现频谱修正，本质是线性时不变系统，其传递函数为：

$\frac{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^N a_k z^{-k}}$

系统差分方程描述为：

$\sum_{k=0}^M b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^N a_k y[n-k]$

频响特性由幅度响应 $|H(e^{j\omega})|$ 决定，通过调整滤波器系数 ${a_k,b_k}$ 实现目标频响曲线。

2. 均衡器类型

2.1 峰形均衡器(Peaking Filter)

提升/衰减特定频段，参数：

中心频率 $f_c$
品质因数Q
增益 $G$ (dB)

传递函数形式：

$\frac{1 + \frac{\alpha}{A} + (1 - \frac{\alpha}{A})z^{-2}}{1 + \alpha(1 + \frac{1}{A}) + \alpha z^{-2}}$

2.2 图示均衡器(Graphic Equalizer)

多频段并联结构，各子带采用带通滤波器组：

$H_{total}(z) = \sum_{i=1}^N G_i H_i(z)$

2.3 低架/高架型(Low/High Shelf)

低频/高频整体提升，传递函数：

$A\frac{(1 + \beta) + (1 - \beta)z^{-1}}{(1 + \alpha) + (1 - \alpha)z^{-1}}$

3. IIR均衡器设计方法

3.1 双线性变换法

设计模拟原型滤波器：
$\frac{s^2 + \frac{\sqrt{A}}{Q}s + A}{s^2 + \frac{1}{Q\sqrt{A}}s + \frac{1}{A}}$
频率预畸变：
$\omega_c = 2 \cdot \tan^{-1}(\pi f_c / f_s)$
双线性变换：
$\frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$

3.2 系数计算

对二阶峰形滤波器，系数计算公式：

import numpy as np

def peaking_coeff(fc, Q, G, fs):
    A = 10**(G/40)
    wc = 2*np.pi*fc/fs
    alpha = np.sin(wc)/(2*Q)
    
    b0 = 1 + alpha*A
    b1 = -2*np.cos(wc)
    b2 = 1 - alpha*A
    a0 = 1 + alpha/A
    a1 = -2*np.cos(wc)
    a2 = 1 - alpha/A
    return [b0/a0, b1/a0, b2/a0], [1.0, a1/a0, a2/a0]

3.3 滤波器设计测试

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

fs = 44100
fc = 1000  # 1kHz中心频率
Q = 2
G = 12     # +12dB增益

b, a = peaking_coeff(fc, Q, G, fs)
w, h = signal.freqz(b, a, fs=fs)

plt.figure()
plt.semilogx(w, 20*np.log10(np.abs(h)))
plt.title('Peaking Filter Frequency Response')
plt.xlabel('Frequency (Hz)'), plt.ylabel('Gain (dB)')
plt.grid(True)

3.4 多频信号处理

# 生成测试信号
t = np.arange(0, 1.0, 1/fs)
freqs = [250, 1000, 4000]
sig = sum(np.sin(2*np.pi*f*t) for f in freqs)

# 应用均衡器
filtered = signal.lfilter(b, a, sig)

# 频谱分析
def plot_spectrum(x, fs):
    f = np.fft.rfftfreq(len(x), 1/fs)
    X = 20*np.log10(np.abs(np.fft.rfft(x)))
    return f, X

plt.figure()
for x, label in zip([sig, filtered], ['Original', 'Filtered']):
    f, X = plot_spectrum(x, fs)
    plt.semilogx(f, X, label=label)
plt.legend(), plt.grid(True)
plt.xlabel('Frequency (Hz)'), plt.ylabel('Magnitude (dB)')

仿真结果：

滤波器的频响曲线（带12dB增益峰）
原始信号与处理后信号的频谱对比

3.5 补充结论（IIR特性分析）

相位特性：IIR滤波器没有严格线性相位存在一定的相位失真
实现代价：需较低阶数就能达到很好的过渡带特性
稳定性：IIR存在反馈，设计需要考虑系统稳定性

4. FIR均衡器设计方法

4.1 设计原理

FIR均衡器的传递函数仅包含分子多项式：

$\sum_{k=0}^{N-1} h[k] z^{-k}$

其单位冲激响应 $h [n]$ 满足有限长度（ $\leq n \leq N-1$ ），系统具有严格的线性相位特性：

$\angle H(e^{j\omega}) = -\frac{(N-1)\omega}{2}$

4.1.1 窗函数法

目标频响定义：给定理想频响 $H_d(e^{j\omega})$
以带通均衡器为例，理想幅频响应为：
$|H_d(\omega)| = \begin{cases} 10^{G/20}, & |\omega - \omega_c| \leq \Delta\omega \\ 1, & \text{其他} \end{cases}$
冲激响应计算：
$h_d[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega$
加窗处理：
$h_d[n] \cdot w[n]$
常用窗函数：凯撒窗（可调旁瓣）、汉明窗（固定旁瓣衰减）

4.1.2 等波纹优化法

采用Parks-McClellan算法最小化最大误差：

$\min_{h[n]} \left( \max_{\omega \in \Omega} |E(\omega)| \right)$
其中误差函数：
$E(\omega) = W(\omega)[H_d(\omega) - H(e^{j\omega})]$

4.2 FIR均衡器实现

4.2.1 窗函数法设计

def fir_peaking_design(fc, bw, gain_db, numtaps, fs, window='hamming'):
    """ 窗函数法设计FIR峰形均衡器（带边界保护）"""
    gain = 10**(gain_db/20)
    
    # 计算截止频率并确保在合法范围内
    low = max(1, fc - bw/2)          # 最低不低于1Hz
    high = min(fs/2 - 1, fc + bw/2)  # 最高不超Nyquist频率
    
    # 设计带通滤波器
    try:
        h_bp = signal.firwin(
            numtaps, 
            [low, high],
            fs=fs,
            pass_zero=False,
            window=window
        )
    except ValueError as e:
        raise ValueError(
            f"无法在fc={
      
      fc}Hz, bw={
      
      bw}Hz下设计滤波器. "
            f"请检查low={
      
      low:.1f}Hz和high={
      
      high:.1f}Hz是否合法") from e
    
    return (gain - 1) * h_bp

4.2.2 等波纹优化法设计

def fir_equiripple_design(fc, bw, gain, numtaps, fs, ripple=0.1):
    nyq = fs / 2
    bands = np.array([
        fc - bw*1.2, fc - bw/2,  # 过渡带
        fc - bw/2, fc + bw/2,    # 通带
        fc + bw/2, fc + bw*1.2
    ]) / nyq
    
    desired = [0, gain, 0]
    weights = [1/ripple, 1, 1/ripple]
    
    h = signal.remez(numtaps, bands, desired, weight=weights, fs=fs)
    return h

4.2.3 多频段均衡

def fir_graphic_eq_design(centers, bw, gains_db, numtaps, fs):
    """ 多频段图示均衡器设计 """
    filters = []
    for fc, G in zip(centers, gains_db):
        h = fir_peaking_design(fc, bw, G, numtaps, fs)
        filters.append(h)
    return filters

4.2.4 应用均衡

def apply_fir_eq(input_sig, filters, fs):
    """ 应用FIR均衡器组 """
    output = input_sig.copy()
    for h in filters:
        # 采用零相位滤波减少延迟影响（离线处理）
        output += signal.filtfilt(h, 1.0, input_sig)
    return output

4.3 仿真验证

# 生成测试信号
def generate_test_signal(fs=44100, duration=1.0):
    t = np.arange(0, duration, 1/fs)
    freqs = [250, 1000, 4000]
    return sum(np.sin(2*np.pi*f*t) for f in freqs), t

# 频谱分析函数
def plot_spectrum(x, fs):
    f = np.fft.rfftfreq(len(x), 1/fs)
    X = np.abs(np.fft.rfft(x))
    return f, 20*np.log10(X/np.max(X)+1e-6)  # 归一化并转为dB

# 仿真测试
# ------------------------------------------------------------------
if __name__ == "__main__":
    fs = 44100
    numtaps = 201
    
    # 设计均衡器参数
    centers = [250, 1000, 4000]  # 中心频率(Hz)
    gains = [6, 12, -9]          # 增益值(dB)
    bw = 500                     # 每个频段带宽(Hz)
    
    # 生成均衡器组
    filters = fir_graphic_eq_design(centers, bw, gains, numtaps, fs)
    
    # 生成测试信号
    sig, t = generate_test_signal(fs=fs)
    noise = 0.1 * np.random.randn(len(t))  # 添加噪声
    sig += noise
    
    # 应用均衡器
    processed = apply_fir_eq(sig, filters, fs)
    
    # 绘制频响曲线
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    for i, h in enumerate(filters):
        w, H = signal.freqz(h, fs=fs)
        plt.semilogx(w, 20*np.log10(np.abs(H) + gains[i]),
                    label=f"{
      
      centers[i]}Hz (+{
      
      gains[i]}dB)")
    plt.title('FIR均衡器组频响特性')
    plt.xlabel('Frequency (Hz)'), plt.ylabel('Gain (dB)')
    plt.grid(True), plt.legend()
    
    # 绘制信号频谱对比
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    f_orig, X_orig = plot_spectrum(sig, fs)
    f_proc, X_proc = plot_spectrum(processed, fs)
    
    plt.semilogx(f_orig, X_orig, label='Original', alpha=0.7)
    plt.semilogx(f_proc, X_proc, label='Processed', alpha=0.7)
    
    # 标注中心频率
    for fc, G in zip(centers, gains):
        plt.annotate(f'{
      
      fc}Hz\n({
      
      G}dB)', 
                    (fc, np.interp(fc, f_proc, X_proc)),
                    textcoords="offset points",
                    xytext=(0,10),
                    ha='center')
    
    plt.title('信号频谱对比')
    plt.xlabel('Frequency (Hz)'), plt.ylabel('Magnitude (dB)')
    plt.legend(), plt.grid(True)
    plt.tight_layout()
    plt.show()