基于熵权法的TOPSIS模型

1. 简介

数学建模可以结合 熵权法 和 $TOPSIS$ 法各自的特点，进行评价，这种组合模型的使用在数学建模比赛中使用的非常多。

在 2023 美赛 O 奖中就有使用该方法的，往年国赛国奖中也有

2. 熵权法介绍

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权

熵越大说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越小；熵越小说明系统越有序，携带的信息越多，权重越大。

熵值法是一种客观赋权方法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重。

上方是简单介绍，具体详细原理可以参考我的博客：熵权法（EWM）

3.TOPSIS法介绍

TOPSIS法是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级

在归一化后的原始数据矩阵中，找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。

上方是简单介绍，具体详细原理可以参考我的博客：优劣解距离法（TOPSIS）

4. 熵权法和 TOPSIS法结合示使用

总体流程图如下所示

假设有 $n$ 个待评价样本，$p$ 项评价指标，形成原始指标数据矩阵：

$$\begin{array}{c}\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_{11}& ...& {\mathrm{x}}_{1\text{p}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{x}}_{\text{n}1}& \cdots & {\mathrm{x}}_{\text{np}}\end{array}\right)\end{array}$$

4.1 标准化处理

标准化的同时进行了正向化

在论文中表达只考虑正向指标和负向指标

正向指标（极大型） 标准化处理：

$$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{x}}_{\min }}{{\mathrm{x}}_{\max }-{\mathrm{x}}_{\min }}\end{array}$$

负向指标（极小型） 标准化处理：

$$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{x}}_{}}{{\mathrm{x}}_{\max }-{\mathrm{x}}_{\min }}\end{array}$$