李代数的结构——以 so(n) 为例

Link: 写给计算机系同学的李群与李代数（一）：从旋转矩阵到抽象群

在上一篇文章中，我们初步认识了李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra），并以特殊正交群（Special Orthogonal Group, SO(2)）为例，了解了李代数如何通过矩阵指数映射（Matrix Exponential）生成李群的元素。今天，我们将深入探讨李代数的结构，重点聚焦于特殊正交群 SO(n) 的李代数 so(n)，即由反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）构成的向量空间。我们会通过公式推导、具体例子和几何解释，帮助你理解李代数的代数性质，以及它为何在计算机科学中如此重要。

李代数（Lie Algebra）的定义

李代数是一个向量空间，配备了一种特殊的双线性运算——李括号（Lie Bracket）。形式上，一个李代数 $\mathfrak{g}$ 满足以下条件：

1. 向量空间：$\mathfrak{g}$ 是一个向量空间（通常在实数或复数域上），支持加法和标量乘法。
2. 李括号：存在一个运算 $[\cdot ,\cdot ]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$，满足：
   • 反对称性（Antisymmetry）：$[A,B]=-[B,A]$。
   • 双线性（Bilinearity）：$[cA+dB,C]=c[A,C]+d[B,C]$，对任意标量 $c,d$。
   • Jacobi 恒等式（Jacobi Identity）：
     $$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0$$

对于矩阵李代数（Matrix Lie Algebra），李括号通常定义为矩阵的交换子：
$$[A,B]=AB-BA$$
这个运算捕捉了矩阵之间“非交换”的性质，我们稍后会看到它在几何上如何对应旋转的非交换性。

李代数与李群的联系在于：李代数描述了李群在单位元（Identity Element，例如单位矩阵）附近的“无穷小变换”（Infinitesimal Transformation）。通过矩阵指数映射 $e^A$，李代数的元素可以生成李群的元素。

so(n)：特殊正交群的李代数

特殊正交群 SO(n) 包含所有 $n\times n$ 旋转矩阵，满足 $R^{T}R=I$ 且 $\det (R)=1$。它的李代数 $\text{so}(n)$ 由所有 $n\times n$ 反对称矩阵构成。让我们一步步探索 $\text{so}(n)$ 的结构。

反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）的定义

一个矩阵 $B$ 是反对称的，如果满足：
$$B^T=-B$$
这意味着 $B$ 的主对角线元素为 0，且对称位置的元素互为相反数。例如，$3\times 3$ 反对称矩阵的一般形式为：
$$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -b_{12}& -b_{13}\\ b_{12}& 0& -b_{23}\\ b_{13}& b_{23}& 0\end{array}\right]$$
其中 $b_{12},b_{13},b_{23}$ 是任意实数。

为什么 $\text{so}(n)$ 由反对称矩阵组成？

为了理解这一点，我们需要推导 SO(n) 的李代数。考虑 SO(n) 中的一条曲线 $R(t)$，满足 $R(0)=I$（单位矩阵）。因为 $R(t)\in \text{SO}(n)$，有：
$$R(t{)}^{T}R(t)=I$$
对 $t$ 求导，并在 $t=0$ 处计算(上面的点表示对t的导数)：
$$\frac{d}{dt}[R(t{)}^{T}R(t)]=\dot{R}(t{)}^{T}R(t)+R(t{)}^T\dot{R}(t)=0$$
在 $t=0$，$R(0)=I$，所以：
$$\dot{R}(0{)}^{T}I+I^T\dot{R}(0)=\dot{R}(0{)}^T+\dot{R}(0)=0$$
令 $B=\dot{R}(0)$，则：
$$B^T=-B$$
这表明 $\dot{R}(0)$ 是一个反对称矩阵。因此，SO(n) 的李代数 $\text{so}(n)$ 由所有 $n\times n$ 反对称矩阵组成。

$\text{so}(n)$ 的维度

一个 $n\times n$ 反对称矩阵的独立元素数量是多少？因为 $B^T=-B$，主对角线元素为 0，非对角线元素 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 互为相反数。自由参数的数量是上三角非对角线元素个数：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$$
因此，$\text{so}(n)$ 作为一个向量空间的维度为 $\frac{n(n-1)}{2}$。例如：

• $\text{so}(2)$：维度为 $\frac{2\cdot 1}{2}=1$。
• $\text{so}(3)$：维度为 $\frac{3\cdot 2}{2}=3$。

以 $\text{so}(2)$ 为例

让我们先从简单的 $\text{so}(2)$ 开始。$\text{so}(2)$ 包含所有 $2\times 2$ 反对称矩阵，形如：
$$B=\left[\begin{array}{cc}0& -b\\ b& 0\end{array}\right]=b\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
基向量可以取：
$$B_1=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
$\text{so}(2)$ 是维度为 1 的向量空间，任意元素为 $\theta B_1$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$。

李括号

由于 $\text{so}(2)$ 是一维的，李括号 $[B_1,B_1]=B_1{B}_1-B_1{B}_1=0$，这意味着 $\text{so}(2)$ 是阿贝尔李代数（Abelian Lie Algebra），即所有元素交换。李括号为零表明二维旋转是可交换的：先旋转 ${\theta }_1$ 再旋转 ${\theta }_2$ 等同于直接旋转 ${\theta }_1+{\theta }_2$。

矩阵指数

我们已经在第一篇中推导过：
$$e^{\theta B_1}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
这验证了 $\text{so}(2)$ 的元素通过指数映射生成 SO(2) 的旋转矩阵。

几何意义

在 $\text{so}(2)$ 中，矩阵 $\theta B_1$ 表示一个“无穷小旋转”，$\theta$ 是旋转速度。指数映射 $e^{\theta B_1}$ 将这个速度转化为具体的旋转角度，类比于“角速度”到“角度”的积分。

以 $\text{so}(3)$ 为例

现在进入更丰富的 $\text{so}(3)$，它是 SO(3) 的李代数，包含所有 $3\times 3$ 反对称矩阵。$\text{so}(3)$ 的维度为 3，其标准基可以取为：
$$B_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right],B_3=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
任意 $\text{so}(3)$ 的元素可以写为：
$$B=a_1{B}_1+a_2{B}_2+a_3{B}_3$$
这些基矩阵与三维空间的旋转密切相关，我们稍后会解释。

矩阵指数映射

考虑 $B_3$，它对应绕 z 轴的“无穷小旋转”。计算 $e^{\theta B_3}$：
$$B_3=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],B_3^2=B_3{B}_3=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],B_3^3=B_3^2{B}_3=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=-B_3$$
指数展开：
$$e^{\theta B_3}=I+\theta B_3+\frac{{\theta }^2}{2!}{B}_3^2+\frac{{\theta }^3}{3!}{B}_3^3+\cdots$$
分离矩阵的子空间：

• 前 $2\times 2$ 子矩阵形如 $\theta \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，类似 $\text{so}(2)$，贡献 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$。
• 第三行和第三列的零保持不变。
  结果为：
  $$e^{\theta B_3}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  这是一个绕 z 轴旋转 $\theta$ 角度的矩阵。类似地，$e^{\theta B_1}$ 和 $e^{\theta B_2}$ 分别生成绕 x 轴和 y 轴的旋转。

李括号

与 $\text{so}(2)$ 不同，$\text{so}(3)$ 是非阿贝尔的（Non-Abelian）。计算李括号：
$$[B_1,B_2]=B_1{B}_2-B_2{B}_1$$
$$B_1{B}_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
$$B_2{B}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
$$[B_1,B_2]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=B_3$$
类似地：
$$[B_2,B_3]=B_1,[B_3,B_1]=B_2$$
这表明 $\text{so}(3)$ 的李括号满足：
$$[B_i,B_j]={ϵ}_{ijk}{B}_k$$
其中 ${ϵ}_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符号。这种结构与三维向量叉积类似，稍后会解释其几何意义。

验证封闭性

李括号的结果仍在 $\text{so}(3)$ 中，说明 $\text{so}(3)$ 是一个李代数。Jacobi 恒等式的验证留给读者作为练习（提示：直接代入 $B_1,B_2,B_3$ 计算）。

几何意义

$\text{so}(3)$ 的基 $B_1,B_2,B_3$ 分别表示绕 x、y、z 轴的“无穷小旋转”。李括号 $[B_i,B_j]$ 描述了旋转的非交换性。例如，$[B_1,B_2]=B_3$ 表明，先绕 y 轴旋转再绕 x 轴，与相反顺序的组合，会产生一个绕 z 轴的净旋转。这与现实中三维旋转的非交换性一致：试试拿一个书本，先绕 x 轴旋转 90°，再绕 y 轴旋转 90°，然后反过来试，结果不同！

李括号的结构类似向量叉积：如果把 $B_1,B_2,B_3$ 对应于 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，则 $[B_i,B_j]$ 对应于叉积的方向。这种联系将在后续博客中进一步探讨。

例子：从 $\text{so}(3)$ 到 3D 旋转

假设我们有一个角速度向量 $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$，对应的 $\text{so}(3)$ 元素为：
$$B={\omega }_1{B}_1+{\omega }_2{B}_2+{\omega }_3{B}_3=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]$$
矩阵 $B$ 表示绕轴 $\omega$ 的无穷小旋转，旋转速度为 $|\omega |$。通过指数映射 $e^{tB}$，我们得到一个旋转矩阵，描述随时间 $t$ 的旋转（具体推导涉及 Rodrigues 公式，将在下一篇文章中详细介绍）。

在计算机图形学中，这种表示用于动画插值。例如，游戏中角色的平滑旋转可以通过 $\text{so}(3)$ 的线性组合实现。

直观总结

• $\text{so}(n)$ 的结构：由反对称矩阵组成，维度为 $\frac{n(n-1)}{2}$。$\text{so}(2)$ 是阿贝尔的，$\text{so}(3)$ 是非阿贝尔的，反映了旋转的复杂性。
• 李括号：捕捉变换的非交换性，在 $\text{so}(3)$ 中体现为旋转的顺序依赖。
• 几何意义：反对称矩阵表示“无穷小旋转”，李括号描述旋转如何“扭曲”或组合。
• 计算机相关性：$\text{so}(3)$ 是 3D 图形学和机器人学的核心，提供了局部线性化的工具。

下一篇文章将深入探讨矩阵指数映射的细节，揭示李群与李代数之间的动态联系。希望你现在对 $\text{so}(n)$ 的结构有了更深的理解！

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后记

2025年4月11日于上海，在grok 3大模型辅助下完成。