深入理解 Riemannian 几何：从流形到测地线

如果你对 normalizing flows 感兴趣，尤其是最近的研究将它扩展到流形上（比如 Riemannian Continuous Normalizing Flows, RCNFs），那么理解 Riemannian 几何是绕不过去的门槛。别担心，今天我们会一步步拆解这段文字里的数学概念，带你走进这个“弯曲空间”的世界。准备好了吗？让我们从基础开始，逐步深入！

本文基于paper：Riemannian Continuous Normalizing Flows （https://arxiv.org/pdf/2006.10605）

什么是流形（Manifold）？

Riemannian 几何的基础是流形。简单来说，流形 ( $M$ ) 是一个点集 ( $z$ )，它的局部看起来像我们熟悉的线性空间（比如二维平面或三维空间），但整体可能弯曲。举个例子：

• 二维平面是一个平坦的流形，局部和整体都像 ( ${\mathbb{R}}^2$ )。
• 地球表面（球面）是一个二维流形，局部像平面，但整体是个球。
• 一个甜甜圈表面（环面）也是二维流形，但形状更复杂。

数学上，流形 ( $M$ ) 是一个光滑的集合，每个点 ( $z\in M$ ) 都带有一个切空间 ( $T_{z}M$ )，它的维度和流形一样。切空间是什么？想象你在球面上某个点 ( $z$ )，切空间 ( $T_{z}M$ ) 包含所有可能通过这个点“切向经过”的方向。比如在地球表面，切空间是个二维平面，包含南北、东西方向的所有线性组合。

所有切空间的集合构成切丛（tangent bundle）：
$$TM=\bigcup _{z\in M}{T}_{z}M$$

Riemannian 度量：给流形加上“尺子”

流形本身只是个抽象的形状，要计算距离、角度或者体积，我们需要一个“尺子”——这就是 Riemannian 度量（metric tensor） ( $g(z)$ )。对于每个点 ( $z$ )，度量 ( $g(z)$ ) 定义了切空间 ( $T_{z}M$ ) 上的内积：
$$g(z):T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R},⟨u,v{⟩}_z=g(z)(u,v)$$
其中 ( $u,v\in T_{z}M$ ) 是切向量，( $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_z$ ) 是内积。

这个内积可以用矩阵表示。设 ( $G(z)$ ) 是度量张量的矩阵形式，那么：
$$⟨u,v{⟩}_z=u^{T}G(z)v$$
在欧几里得空间中，( $G(z)$ ) 就是单位矩阵 ( $I$ )，但在弯曲的流形上，( $G(z)$ ) 会随 ( $z$ ) 变化，反映空间的局部几何。

有了度量，一个流形就变成了 Riemannian 流形，记作 ( $(M,g)$ )。它赋予了我们计算以下东西的能力：

• 长度：切向量 ( $u$ ) 的范数是 ( $\Vert u{\Vert }_z=\sqrt{⟨u,u{⟩}_z}$ )。
• 角度：两个切向量 ( $u,v$ ) 的夹角由 ( $\cos \theta =\frac{⟨u,v{⟩}_z}{\Vert u{\Vert }_z\Vert v{\Vert }_z}$ ) 给出。
• 体积元素：度量诱导出流形上的测度 ( $dVol(z)=\sqrt{|G(z)|}dLeb(z)$ )，其中 ( $dLeb(z)$ ) 是勒贝格测度。

曲线长度与测地线：流形上的“直线”

在欧几里得空间中，直线的长度是两点间的欧氏距离。但在流形上，曲线 ( $\gamma :[0,1]\to M$ ) 的长度要用积分定义：
$$L(\gamma )={\int }_0^1\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}dt$$
其中 ( ${\gamma }^{\prime }(t)=\frac{d\gamma }{dt}$ ) 是曲线的切向量，( $\Vert \cdot {\Vert }_{\gamma (t)}$ ) 是由 ( $g(\gamma (t))$ ) 诱导的范数。

那么，流形上的“直线”是什么？这就是测地线（geodesic）。测地线是连接两点 ( $z,y\in M$ ) 的最短路径，满足：
$${\gamma }^{\ast }=\arg \min L(\gamma ),\gamma (0)=z,\gamma (1)=y,\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}=1$$
测地线的速度是常数，类似于平面上匀速直线运动。例如：

• 在平面 ( ${\mathbb{R}}^2$ ) 上，测地线就是直线。
• 在球面上，测地线是大圆（比如飞行航线）。

距离与指数映射：流形上的导航工具

测地线定义了流形上的距离：
$$d_M(z,y)=\inf L(\gamma )$$
其中 ( $\gamma$ ) 是所有连接 ( $z$ ) 和 ( $y$ ) 的曲线。这使得 ( $(M,d_M)$ ) 成为一个度量空间。

现在，假设你在点 ( $z$ )，想沿着某个方向 ( $v\in T_{z}M$ ) “直线”移动，怎么办？这就需要指数映射（exponential map）。对于初始条件 ( $\gamma (0)=z$ )、( ${\gamma }^{\prime }(0)=v$ ) 的唯一单位速度测地线 ( $\gamma$ )，指数映射定义为：
$${\exp }_z(v)=\gamma (1)$$
直观来说，( ${\exp }_z(v)$ ) 把切空间的向量 ( $v$ ) “映射”到流形上的一个点。比如在球面上，从北极沿某个方向移动一定距离，你会到达一个新位置。

反过来，对数映射（logarithm map）是指数映射的逆：
$${\log }_z(y)={\exp }_z^{-1}(y):M\to T_{z}M$$
它告诉你从 ( $z$ ) 到 ( $y$ ) 的“方向”和“距离”。

如果流形是测地完备的（geodesically complete），即所有测地线可以无限延伸，那么 ( ${\exp }_z$ ) 在整个 ( $T_{z}M$ ) 上都定义良好。文中提到 Poincaré 球和超球面都是测地完备的，这保证了这些操作的可靠性。

常曲率流形：Poincaré 球和超球面

Riemannian 几何的一个重要子类是常曲率流形，即曲率在整个流形上恒定。曲率衡量空间的“弯曲程度”，有三种情况：

1. 零曲率：平面 ( ${\mathbb{R}}^n$ )，度量 ( $G(z)=I$ )，测地线是直线。
2. 正曲率：超球面（hypersphere），如单位球面 ( S n = { z ∈ R n + 1 ∣ ∥ z ∥ = 1 S^n = \{ z \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|z\| = 1 Sn={ z∈Rn+1∣∥z∥=1 } )。测地线是大圆，曲率恒为正。
3. 负曲率：Poincaré 球，如单位盘 ( B n = { z ∈ R n ∣ ∥ z ∥ < 1 B^n = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \|z\| < 1 Bn={ z∈Rn∣∥z∥<1 } ) 配上双曲度量。测地线是圆弧，曲率恒为负。

在 Poincaré 球中，度量是 ( $G(z)=\frac{4}{(1-\Vert z{\Vert }^2{)}^2}I$ )，靠近边界时距离被放大；在超球面中，度量继承自欧几里得空间的嵌入。这些几何特性直接影响测地线和距离计算。

为什么关心这些？

在 RCNFs 中，Riemannian 几何提供了在流形上定义概率分布的工具。基分布的“粒子”通过向量场演化，而向量场和数值求解器必须尊重流形的度量和测地线。这比传统的投影方法（从欧几里得空间映射到流形）更自然，也更稳定。

比如：

• 在超球面上模拟地震位置分布，测地线是大圆，指数映射帮你导航。
• 在 Poincaré 球上建模层次数据，负曲率让分布自然展开。

总结

Riemannian 几何用流形 ( $M$ ) 和度量 ( $g$ ) 描述弯曲空间，切空间 ( $T_{z}M$ ) 定义方向，测地线和指数映射提供“直线”和“导航”。对于常曲率流形如 Poincaré 球和超球面，这些工具让概率建模更贴合数据的内在几何。

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数学符号解释

( $T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R}$ ) 是什么意思？

首先，( $T_{z}M$) 是流形 ( $M$ ) 在点 ( $z$ ) 处的切空间（tangent space）。它是一个向量空间，包含所有从 ( $z$ ) 点出发的“切向方向”。比如，在一个二维球面上，( $T_{z}M$ ) 是一个二维平面，里面的向量可以表示东南西北方向的组合。

( $T_{z}M\times T_{z}M$ ) 表示两个切空间的笛卡尔积。在数学上，( $A\times B$ ) 是集合 ( $A$ ) 和 ( $B$ ) 的所有有序对 ( $(a,b)$ ) 的集合。所以：

• ( $T_{z}M\times T_{z}M=\{(u,v)\mid u\in T_{z}M,v\in T_{z}M\}$ )
• 意思是：取 ( $T_{z}M$ ) 中的任意两个向量 ( $u$ ) 和 ( $v$ )，组成一个有序对 ( $(u,v)$ )。

接下来，( $T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R}$ ) 表示一个映射（函数），它把 ( $T_{z}M\times T_{z}M$ ) 中的每一个有序对 ( $(u,v)$ ) 映射到一个实数 ( $\mathbb{R}$ )。这个映射就是 Riemannian 度量 ( g(z) ) 的作用。具体来说：

• 输入：一对切向量 ( $(u,v)$ )。
• 输出：一个实数，表示 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 在点 ( $z$ ) 处的“内积”。

这里的“相乘”并不是 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 向量直接相乘（比如点积或叉积），而是指 ( $g(z)$ ) 作为一个工具，作用于 ( $u$ ) 和 ( $v$ )，计算它们之间的某种“关系”——这个关系就是内积。

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( $g(z)(u,v)$ ) 是什么意思？

( $g(z)$ ) 是流形 ($M$ ) 在点 ( $z$ ) 处的 度量张量（metric tensor）。它是一个双线性函数，定义在切空间 ( $T_{z}M$ ) 上。让我们分解一下：

1. ( $g(z)$ ) 的本质：

   • ( $g(z)$ ) 是一个函数，它依赖于点 ( $z$ )，因为流形的几何性质（如曲率）可能随位置变化。
   • 它的输入是两个切向量 ( $u,v\in T_{z}M$ )，输出是一个实数。
   • 数学上，( $g(z):T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R}$ ) 表示 ( $g(z)$ ) 是一个从 ( $T_{z}M\times T_{z}M$ ) 到实数的映射。

2. ( $g(z)(u,v)$ ) 的写法：

   • ( $g(z)(u,v)$ ) 表示 ( $g(z)$ ) 作用于 ( $(u,v)$ ) 这个有序对。
   • 这里的括号 ( $(u,v)$ ) 表示 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 是 ( $g(z)$ ) 的两个参数，不是 ( $g(z)$ ) 和 ( $(u,v)$ ) 相乘。
   • 你可以把 ( $g(z)$) 想象成一个“机器”，输入 ( $u$ ) 和 ( $v$ )，输出一个数。这个数就是 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 在 ( $z$ ) 点的内积，记作 ( $⟨u,v{⟩}_z$ )。

3. 不是相乘：

   • ( $g(z)(u,v)$ ) 不是 ( $g(z)$ ) 和 ( $(u,v)$ ) 的某种乘法运算，而是函数 ( $g(z)$ ) 对输入 ( $(u,v)$ ) 的计算结果。
   • 在数学中，函数作用于参数时常用这种记号，比如 ( $f(x)$ ) 是 ( $f$ ) 作用于 ( $x$ )。这里 ( $g(z)(u,v)$ ) 是类似的写法。

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内积 ( $⟨u,v{⟩}_z=g(z)(u,v)$ ) 的意义

Riemannian 度量 ( $g(z)$ ) 的核心作用是定义切空间 ( $T_{z}M$ ) 上的内积。内积是我们熟悉的概念（比如欧几里得空间中的点积），但在流形上，它由 ( $g(z)$ ) 定制：

• ( $⟨u,v{⟩}_z=g(z)(u,v)$) 表示 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 在 ( $z$ ) 点的内积。
• 这个内积可以用来计算角度、长度等几何量。比如：
  • 向量 ( $u$ ) 的长度：( $\Vert u{\Vert }_z=\sqrt{⟨u,u{⟩}_z}=\sqrt{g(z)(u,u)}$ )。
  • ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 的夹角：( $\cos \theta =\frac{⟨u,v{⟩}_z}{\Vert u{\Vert }_z\Vert v{\Vert }_z}$ )。

在欧几里得空间中，内积是简单的 ( $u\cdot v=u^{T}v$ )，但在流形上，( $g(z)$ ) 会根据局部几何调整内积的计算方式。

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用矩阵形式理解 ( $g(z)$ )

文中提到，( $g(z)$ ) 可以用矩阵 ( $G(z)$ ) 表示：
$$⟨u,v{⟩}_z=g(z)(u,v)=u^{T}G(z)v$$

• ( $G(z)$ ) 是一个对称正定矩阵，大小是 ( $T_{z}M$ ) 的维度（比如二维流形上是个 ( $2\times 2$ ) 矩阵）。
• ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 是列向量，( $u^{T}G(z)v$ ) 是矩阵运算，给出内积的具体值。
• ( $G(z)$ ) 随 ( $z$ ) 变化，反映了流形在不同点的“弯曲”特性。

例如：

• 在平面 ( ${\mathbb{R}}^2$ ) 上，( $G(z)=I$ )（单位矩阵），内积是 ( $u^{T}v$ )。
• 在球面上，( $G(z)$ ) 由球面坐标决定，可能包含 ( $\sin \theta$ ) 等项。

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一个直观的例子

假设你在地球表面（一个二维球面流形）上，点 ( $z$ ) 是北极：

• ( $T_{z}M$ ) 是北极的切平面，包含东西方向和南北方向的向量，比如 ( $u=(1,0)$)（向东），( $v=(0,1)$ )（向南）。
• ( $g(z)$ ) 定义了这些方向的内积。假设 ( $G(z)=I$ )（简化假设），那么 ( $g(z)(u,v)=u^{T}v=0$ )，说明东和南垂直。
• 如果你在赤道，( $G(z)$ ) 可能会有不同的缩放因子，因为球面曲率影响了局部几何。

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回答提出的问题

1. ( $T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R}$ ) 的“相乘”是什么意思？

   • 这里的“( $\times$ )”不是向量相乘，而是表示输入是两个切向量的组合（有序对）。( $g(z)$ ) 接收这对向量，输出一个实数，不是 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 直接相乘。

2. ( $g(z)(u,v)$ ) 是 ( $g(z)$ ) 作用于 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 吗？还是相乘？

   • 是 ( $g(z)$ ) 作用于 ( $u$ ) 和 ( $v$ )。具体来说，( $g(z)$ ) 是一个函数，( $(u,v)$ ) 是它的输入，( $g(z)(u,v)$ ) 是输出结果（内积值）。它不是 ( $g(z)$ ) 和 ( $(u,v)$ ) 的乘法，而是 ( $g(z)$ ) 对 ( $u$ ) 和 ( $v$ ) 的“测量”。

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总结

• ( $T_{z}M\times T_{z}M\to \mathbb{R}$ ) 描述了 ( $g(z)$ ) 的定义域和值域：输入是两个切向量，输出是实数。
• ( $g(z)(u,v)$ ) 是 ( $g(z)$ ) 作用于 ( $u$ ) 和 ( $v$ )，计算它们在内积意义下的“关系”，用矩阵形式是 ( $u^{T}G(z)v$ )。

例子展示 ( $G(z)$ )的计算过程

下面会通过具体的例子来展示 ( $G(z)$ )（Riemannian 度量的矩阵表示）的计算过程。我们会以两种常曲率流形为例：二维球面（正曲率）和 Poincaré 盘（负曲率）。这些例子会帮助你直观理解 ( $G(z)$ ) 如何反映流形的几何特性，以及如何计算内积 ( $g(z)(u,v)=u^{T}G(z)v$ )。

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示例 1：二维球面（正曲率流形）

二维球面 ( $S^2$ ) 是单位球面，定义为：
$$S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$$
它的维度是 2，因为表面是二维的。我们通常用球坐标 ( $(\theta ,\varphi )$ ) 参数化：

• ($\theta \in [0,\pi ]$ )：极角，从北极到南极。
• ( $\varphi \in [0,2\pi )$ )：方位角，绕着 z 轴转。
• 坐标变换：
  $$x=\sin \theta \cos \varphi ,y=\sin \theta \sin \varphi ,z=\cos \theta$$

切空间 ( $T_z{S}^2$ )

假设点 ( $z$ ) 在球面上，用球坐标表示为 ( $z=({\theta }_0,{\varphi }_0)$ )。切空间 ( $T_z{S}^2$ ) 是二维的，由两个基向量张成：

• ( $e_{\theta }=\frac{\partial }{\partial \theta }$ )：沿 ( $\theta$ ) 方向的切向量。
• ( $e_{\varphi }=\frac{\partial }{\partial \varphi }$ )：沿 ( $\varphi$ ) 方向的切向量。

计算这些基向量（在 ( ${\mathbb{R}}^3$ ) 中的表示）：

• ( $\frac{\partial }{\partial \theta }(x,y,z)=(\cos \theta \cos \varphi ,\cos \theta \sin \varphi ,-\sin \theta )$ )
• ( $\frac{\partial }{\partial \varphi }(x,y,z)=(-\sin \theta \sin \varphi ,\sin \theta \cos \varphi ,0)$ )

计算 ( $G(z)$ )

球面的度量 ( $g(z)$ ) 继承自 ( ${\mathbb{R}}^3$ ) 的欧几里得度量，但限制在切空间上。度量张量的分量是基向量的内积：

• ( $g_{\theta \theta }=⟨e_{\theta },e_{\theta }⟩=(\cos \theta \cos \varphi {)}^2+(\cos \theta \sin \varphi {)}^2+(-\sin \theta {)}^2={\cos }^2\theta ({\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi )+{\sin }^2\theta =1$ )
• ( $g_{\varphi \varphi }=⟨e_{\varphi },e_{\varphi }⟩=(-\sin \theta \sin \varphi {)}^2+(\sin \theta \cos \varphi {)}^2+0={\sin }^2\theta ({\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi )={\sin }^2\theta$ )
• ( $g_{\theta \varphi }=⟨e_{\theta },e_{\varphi }⟩=(-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta \sin \varphi )+(\cos \theta \sin \varphi \sin \theta \cos \varphi )+0=0$ )

所以，度量矩阵 ( $G(z)$ ) 在 ( $(\theta ,\varphi )$ ) 坐标下是：
$$G(z)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{\theta \theta }& g_{\theta \varphi }\\ g_{\varphi \theta }& g_{\varphi \varphi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)$$

内积计算

假设有两个切向量 ( $u=u_{\theta }{e}_{\theta }+u_{\varphi }{e}_{\varphi }$ )，( $v=v_{\theta }{e}_{\theta }+v_{\varphi }{e}_{\varphi }$ )，用坐标表示为 ( $u=(u_{\theta },u_{\varphi })$ )，( $v=(v_{\theta },v_{\varphi })$ )。内积是：
$$g(z)(u,v)=u^{T}G(z)v=\left(\begin{array}{cc}{u}_{\theta }& u_{\varphi }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{\theta }\\ v_{\varphi }\end{array}\right)=u_{\theta }{v}_{\theta }+{\sin }^2\theta u_{\varphi }{v}_{\varphi }$$

例子

在赤道 ( $\theta =\frac{\pi }{2}$ )：

• ( $G(z)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ )（因为 ( ${\sin }^2\frac{\pi }{2}=1$ )）。
• 若 ( $u=(1,0)$ )，( $v=(0,1)$ )，则 ( $g(z)(u,v)=1\cdot 0+1\cdot 0=0$ )，说明 ( $\theta$ ) 和 ( $\varphi$ ) 方向正交。
• 若 ( $u=(1,1)$ )，则 ( $\Vert u{\Vert }_z=\sqrt{1\cdot 1+1\cdot 1}=\sqrt{2}$ )。

在北极 ( $\theta =0$ )：

• ( $G(z)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ )（因为 ( ${\sin }^{2}0=0$ )），( $\varphi$ ) 方向的长度被压缩为 0，符合北极的几何。

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示例 2：Poincaré 盘（负曲率流形）

Poincaré 盘是二维双曲空间，定义为单位圆盘：
$$B^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<1\}$$
配上度量：
$$d{s}^2=\frac{4(d{x}^2+d{y}^2)}{(1-x^2-y^2{)}^2}$$

切空间 ( $T_z{B}^2$ )

在点 ( $z=(x,y)$ )，切空间 ( $T_z{B}^2$ ) 是二维的，用直角坐标基向量 ( $e_x=(1,0)$ )、( $e_y=(0,1)$ ) 表示。

计算 ( $G(z)$ )

度量的线元素 ( $d{s}^2$ ) 表明：

• ( $g_{xx}=\frac{4}{(1-x^2-y^2{)}^2}$ )
• ( $g_{yy}=\frac{4}{(1-x^2-y^2{)}^2}$ )
• ( $g_{xy}=0$ )（因为没有交叉项）

所以：
$$G(z)=\frac{4}{(1-x^2-y^2{)}^2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{(1-r^2{)}^2}& 0\\ 0& \frac{4}{(1-r^2{)}^2}\end{array}\right)$$
其中 ( $r^2=x^2+y^2$ )。

内积计算

对于 ( $u=(u_x,u_y)$ )，( $v=(v_x,v_y)$)：
$$g(z)(u,v)=u^{T}G(z)v=\frac{4}{(1-r^2{)}^2}(u_x{v}_x+u_y{v}_y)$$

例子

在原点 ( $z=(0,0)$ )：

• ( $r=0$ )，( $G(z)=4\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ )。
• 若 ($u=(1,0)$ )，( $v=(0,1)$ )，则 ( $g(z)(u,v)=4(1\cdot 0+0\cdot 1)=0$ )。
• 若 ( $u=(1,0)$ )，则 ( $\Vert u{\Vert }_z=\sqrt{4\cdot 1}=2$ )。

靠近边界 ( $z=(0.9,0)$ )：

• ( $r=0.9$ )，( $1-r^2=0.19$ )，( $G(z)=\frac{4}{0.19^2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\approx 110.8\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ )。
• 若 ( $u=(1,0)$ )，则 ( $\Vert u{\Vert }_z=\sqrt{110.8}\approx 10.5$ )，长度被放大，符合双曲几何。

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总结

• 球面：( $G(z)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)$ )，反映了球面在极点和赤道的几何变化。
• Poincaré 盘：( $G(z)=\frac{4}{(1-r^2{)}^2}I$ )，靠近边界时度量放大，体现负曲率。

( $G(z)$ ) 的计算依赖于流形的参数化和度量定义，直接决定了内积和距离的性质。希望这些例子让你对 ( $g(z)$ ) 和 ( $G(z)$ ) 的作用更清晰！

勒贝格测度（Lebesgue measure）

以下详细介绍勒贝格测度（Lebesgue measure）的概念，面向对数学和深度学习有一定基础的读者。会从直观理解出发，逐步深入到数学定义和公式，并联系到 Riemannian 流形中的应用场景（比如 ( $dVol(z)=\sqrt{|G(z)|}dLeb(z)$ )），让你明白它在度量和积分中的作用。

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什么是勒贝格测度？从长度到体积的数学尺子

在 Riemannian 几何中，我们提到流形的度量 ( $g(z)$ ) 诱导了一个测度 ( $dVol(z)=\sqrt{|G(z)|}dLeb(z)$ )，其中 ( $dLeb(z)$ ) 是“勒贝格测度”。如果你听到这个名字觉得有点陌生，别慌！今天我们就来聊聊勒贝格测度是什么，它怎么工作，以及为什么它在流形和概率建模中这么重要。准备好进入数学的奇妙世界了吗？

测度：给集合“量尺寸”的工具

在数学中，测度（measure）是一个函数，用来给集合分配一个“大小”——可以是长度、面积、体积，甚至更高维的“量”。比如：

• 一条线段的长度是 2。
• 一个矩形的面积是 3 × 4 = 12。
• 一个球的体积是 ( $\frac{4}{3}\pi r^3$ )。

但这些简单的例子都假设空间是规则的、直观的。如果空间是弯曲的（比如球面），或者集合很复杂（比如分形），我们需要更强大的工具。这时候，勒贝格测度就登场了。

从 Riemann 积分到勒贝格积分

我们先从积分说起，因为勒贝格测度的诞生和积分密切相关。你可能学过 Riemann 积分（黎曼积分），它把一个函数的积分想象成“把区间分成小块，计算每块的高度，再求和”。比如计算 ( $f(x)=x^2$ ) 在 ( $[0,1]$ ) 上的积分：

• 把 ( $[0,1]$ ) 分成 ( $n$ ) 个小区间，每块宽度 ( $\Delta x=\frac{1}{n}$ )。
• 每块的高度近似取 ( $f(x_i)$ )，面积和是 ( $\sum f(x_i)\Delta x$ )。
• 当 ( $n\to \infty$ ) 时，得到精确值 ( ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ )。

Riemann 积分简单直观，但有个问题：它要求函数“足够连续”，而且只能处理规则的区间。如果函数跳跃得很厉害，或者我们想积分的区域很奇怪（比如 Cantor 集），Riemann 积分就力不从心了。

勒贝格积分（Lebesgue 积分）换了个思路：不是按 ( $x$ ) 轴分割区间，而是按函数值的高度分割，然后测量每个高度对应的“区域大小”。这需要一个新的测度工具——勒贝格测度。

勒贝格测度的直观定义

勒贝格测度 ( dLeb ) 是欧几里得空间 ( ${\mathbb{R}}^n$ ) 上的一种“标准测度”，用来量化集合的“大小”：

• 在 ( $\mathbb{R}$ )（一维）上，它测量线段的长度。
• 在 ( ${\mathbb{R}}^2$ )（二维）上，它测量矩形或圆的面积。
• 在 ( ${\mathbb{R}}^3$ )（三维）上，它测量立方体或球的体积。

它的核心思想是用外测度（outer measure）逼近任何集合的大小，即使集合很复杂。具体来说：

1. 用简单的矩形（或立方体）覆盖你要测量的集合。
2. 计算这些矩形的总大小。
3. 取所有可能覆盖的最小值，作为集合的测度。

数学定义

在 ( ${\mathbb{R}}^n$ ) 上，勒贝格测度的正式定义基于可测集合（measurable sets）。先定义基本集合的测度：

• 对于一个 ( $n$ ) 维矩形 ( $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ )：
  $$\mu (I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot \dots \cdot (b_n-a_n)$$
  这是矩形的“体积”。

然后，对于任意集合 ( $A\subset {\mathbb{R}}^n$ )：

• 外测度：
  $${\mu }^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mu (I_i)\mid A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i,I_i\text{ 是矩形}\right\}$$
  意思是用无数个矩形覆盖 ( $A$ )，取所有覆盖体积和的最小值。
• ( $A$ ) 是勒贝格可测的，如果它满足 Carathéodory 准则（简单说，就是分割集合时测度加起来一致）。
• 如果 ( $A$ ) 可测，则勒贝格测度 ( $\mu (A)={\mu }^{\ast }(A)$ )。

在微分形式下，勒贝格测度记作 ( $dLeb(x)$ ) 或 ( $dx$ )（一维时），表示“无穷小的标准测度元素”。

例子

1. 一维：

   • 区间 ( $[0,1]$) 的勒贝格测度是 ( $\mu ([0,1])=1-0=1$ )。
   • 单点 ( { 0 } \{0\} { 0} ) 的测度是 0（因为没有长度）。
   • 有理数集 ( $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ ) 的测度是 0（虽然点无穷多，但它们“稀疏”，可以用很小的矩形覆盖，总长度趋于 0）。

2. 二维：

   • 单位正方形 ( $[0,1]\times [0,1]$ ) 的测度是 ( $1\times 1=1$ )。
   • 单位圆盘 ( $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ ) 的测度是 ( $\pi$ )。

在 Riemannian 流形中的角色

回到 Riemannian 流形 ( $(M,g)$ )。在欧几里得空间 ( ${\mathbb{R}}^n$ ) 上，勒贝格测度 ( $dLeb(z)$ ) 是默认的“平坦”测度。但流形可能是弯曲的，度量 ( $g(z)$ )（矩阵形式 ( $G(z)$ )）会扭曲空间的几何。这时，流形上的体积元素需要调整：
$$dVol(z)=\sqrt{|G(z)|}dLeb(z)$$

• ( $G(z)$ ) 是度量张量的矩阵表示，( $|G(z)|$ ) 是它的行列式。
• ( $\sqrt{|G(z)|}$ ) 是“缩放因子”，反映局部几何对标准测度的调整。

举例：二维球面

在单位球面 ( $S^2$ ) 上，用球坐标 ( $(\theta ,\varphi )$)：

• ( $G(z)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)$ )（见之前的例子）。
• ( $|G(z)|=1\cdot {\sin }^2\theta ={\sin }^2\theta$ )。
• 体积元素：
  $$dVol(z)=\sqrt{{\sin }^2\theta }dLeb(\theta ,\varphi )=\sin \theta d\theta d\varphi$$
  （这里 ( $dLeb(\theta ,\varphi )=d\theta d\varphi$ ) 是 ( ${\mathbb{R}}^2$ ) 上的勒贝格测度，( $\sin \theta$ ) 是球面几何的调整因子。）
• 整个球面的面积：
  $${\int }_{S^2}dVol={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta d\varphi =2\pi \cdot 2=4\pi$$
  符合单位球面的面积。

举例：Poincaré 盘

在单位盘 ( $B^2$ ) 上，( $G(z)=\frac{4}{(1-r^2{)}^2}I$ )：

• ( $|G(z)|={\left(\frac{4}{(1-r^2{)}^2}\right)}^2=\frac{16}{(1-r^2{)}^4}$ )。
• 体积元素：
  $$dVol(z)=\sqrt{\frac{16}{(1-r^2{)}^4}}dLeb(x,y)=\frac{4}{(1-r^2{)}^2}dxdy$$
  靠近边界 ( $r\to 1$ ) 时，( $dVol$ ) 变得很大，反映双曲空间的“扩张”特性。

为什么用勒贝格测度？

1. 普适性：勒贝格测度是 ( ${\mathbb{R}}^n$ ) 上的标准测度，自然延伸到流形上的局部坐标。
2. 积分能力：它支持勒贝格积分，能处理复杂的集合和函数，在概率密度估计（如 normalizing flows）中至关重要。
3. 几何调整：结合 ( $\sqrt{|G(z)|}$ )，它适配了流形的弯曲特性。

总结

勒贝格测度 ( $dLeb(z)$ ) 是欧几里得空间的标准“尺子”，测量集合的大小。在 Riemannian 流形中，它被度量 ( $G(z)$ ) 调整为 ( $dVol(z)$ )，成为计算体积、定义概率分布的基础。无论是球面的 ( $\sin \theta$ )，还是双曲盘的 ( $\frac{4}{(1-r^2{)}^2}$ )，勒贝格测度都默默地扮演着“基底”的角色。

详细解释测地线

想深入了解测地线（geodesic）的计算，我们来详细探讨一下 Riemannian 流形上的测地线是什么，如何计算，以及具体的例子。会从概念入手，推导数学公式，并以二维球面和 Poincaré 盘为例，展示测地线的计算过程。这会帮助你理解文中提到的“测地线是流形上两点间的最短路径”以及指数映射的意义。

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测地线：流形上的“直线”

在 Riemannian 几何中，测地线是流形上两点间的最短路径，类似于欧几里得空间中的直线。但因为流形可能是弯曲的，测地线的计算需要考虑度量 ( $g(z)$ ) 的影响。测地线不仅在几何中有重要意义，在 normalizing flows（如 RCNFs）中也用来定义粒子沿流形的“自然移动”路径。

测地线的定义

测地线 ( $\gamma (t)$ ) 是一条曲线，满足：

1. 最短路径：对于两点 ( $z,y\in M$ )，( $\gamma (0)=z$ )，( $\gamma (1)=y$ )，其长度 ( $L(\gamma )={\int }_0^1\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}dt$ ) 是所有连接 ( $z$ ) 和 ( $y$ ) 的曲线中最小的。
2. 常速：通常要求 ( $\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}=\text{常数}$ )，即速度在流形上均匀。
3. 局部直：测地线是“局部最直”的曲线，满足一个微分方程（测地线方程）。

长度定义为：
$$L(\gamma )={\int }_0^1\sqrt{g(\gamma (t))({\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t))}dt$$
其中 ( ${\gamma }^{\prime }(t)=\frac{d\gamma }{dt}$ ) 是切向量，( $g$ ) 是度量。

测地线方程

测地线的数学描述来自变分法：它是最短路径的极值曲线。推导后，测地线满足以下二阶微分方程（测地线方程）：
$$\frac{d^2{\gamma }^k}{d{t}^2}+\sum _{i,j}{\Gamma }_{ij}^k\frac{d{\gamma }^i}{dt}\frac{d{\gamma }^j}{dt}=0,k=1,\dots ,n$$

• ( $\gamma (t)=({\gamma }^1(t),\dots ,{\gamma }^n(t))$ ) 是局部坐标中的曲线。
• ( ${\Gamma }_{ij}^k$ ) 是 Christoffel 符号（连接系数），由度量 ( $g_{ij}$ ) 计算：
  $${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _m{g}^{km}\left(\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}\right)$$
  其中 ( $g^{km}$ ) 是度量矩阵 ( $G(z)$ ) 的逆矩阵 ( $G^{-1}(z)$ ) 的元素。

这个方程看起来复杂，但它描述了测地线如何“适应”流形的曲率。

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示例 1：二维球面 ( $S^2$ ) 的测地线

单位球面 ( $S^2=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ )，用球坐标 ( $(\theta ,\varphi )$ )：

• 度量：( $G(z)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)$ )。

计算 Christoffel 符号

设坐标 ( $x^1=\theta$ )，( $x^2=\varphi$ )，度量分量 ( $g_{11}=1$ )，( $g_{22}={\sin }^2\theta$ )，( $g_{12}=g_{21}=0$ )。逆矩阵 ( $g^{11}=1$ )，( $g^{22}=\frac{1}{{\sin }^2\theta }$ )，( $g^{12}=0$ )。

计算非零的 Christoffel 符号：

• ( ${\Gamma }_{ij}^1$ )：
  • ( ${\Gamma }_{11}^1=\frac{1}{2}{g}^{11}\left(\frac{\partial g_{11}}{\partial \theta }+\frac{\partial g_{11}}{\partial \theta }-\frac{\partial g_{11}}{\partial \theta }\right)=0$ )（因为 ( $g_{11}=1$ ) 是常数）。
  • ( ${\Gamma }_{22}^1=\frac{1}{2}{g}^{11}\left(\frac{\partial g_{22}}{\partial \theta }\right)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\partial {\sin }^2\theta }{\partial \theta }=\sin \theta \cos \theta$ )。
• (${\Gamma }_{ij}^2$ )：
  • ( ${\Gamma }_{12}^2={\Gamma }_{21}^2=\frac{1}{2}{g}^{22}\left(\frac{\partial g_{22}}{\partial \theta }\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\sin }^2\theta }\cdot 2\sin \theta \cos \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ ).

其他项为 0。

测地线方程

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\Gamma }_{22}^1{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2=0\Rightarrow \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2=0$$
$$\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}+2{\Gamma }_{12}^2\frac{d\theta }{dt}\frac{d\varphi }{dt}=0\Rightarrow \frac{d^2\varphi }{d{t}^2}+2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{d\theta }{dt}\frac{d\varphi }{dt}=0$$

解：大圆

假设 ( $\theta =\frac{\pi }{2}$ )（赤道平面），则：

• 第一方程：( $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=0$ )，( $\theta =\frac{\pi }{2}$ ) 是解。
• 第二方程：( $\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}=0$ )（因为 ( $\cos \frac{\pi }{2}=0$ )），( $\varphi =at+b$ )。

在 ( ${\mathbb{R}}^3$ ) 中，( $\theta =\frac{\pi }{2}$ ) 对应 ( $z=0$ )，( $x=\cos (at+b)$ )，( $y=\sin (at+b)$ )，这是一个大圆（赤道）。一般情况下，球面上的测地线都是大圆，连接两点的最短路径。

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示例 2：Poincaré 盘 ( $B^2$ ) 的测地线

单位盘 ( $B^2=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1$ } )，度量：
$$G(z)=\frac{4}{(1-x^2-y^2{)}^2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
设 ( $\lambda =\frac{2}{1-x^2-y^2}$ )，则 ( $g_{11}=g_{22}={\lambda }^2$ )，( $g_{12}=0$ )。

计算 Christoffel 符号

• ( $\frac{\partial g_{11}}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{4}{(1-x^2-y^2{)}^2}\right)=8\frac{2x}{(1-x^2-y^2{)}^3}=\frac{16x}{(1-r^2{)}^3}$ )（( $r^2=x^2+y^2$ )）。
• ( $\frac{\partial g_{11}}{\partial y}=\frac{16y}{(1-r^2{)}^3}$ )。
• ($g^{11}=g^{22}=\frac{(1-r^2{)}^2}{4}$ )。

计算：

• ( ${\Gamma }_{11}^1=\frac{1}{2}{g}^{11}\left(2\frac{\partial g_{11}}{\partial x}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-r^2{)}^2}{4}\cdot \frac{32x}{(1-r^2{)}^3}=\frac{4x}{1-r^2}$ )。
• ( ${\Gamma }_{12}^1=\frac{4y}{1-r^2}$ )，( ${\Gamma }_{22}^2=\frac{4y}{1-r^2}$ )。

测地线方程

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{4x}{1-r^2}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{4y}{1-r^2}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}=0$$
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{4x}{1-r^2}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+\frac{4y}{1-r^2}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=0$$

解：圆弧

假设沿 ( $x$ ) 轴运动，( $y=0$ )：

• 第二方程满足，( $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=0$ )。
• 第一方程：( $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{4x}{1-x^2}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=0$ )。

这是一个非线性方程，解表明测地线是直线（在 Poincaré 盘中看起来是直线，但实际是圆弧）。一般解涉及双曲几何，测地线是圆盘内与边界正交的圆弧。

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总结

• 球面：测地线是大圆，由 ( $\theta$ ) 和 ( $\varphi$ ) 的方程解出。
• Poincaré 盘：测地线是圆弧，反映双曲几何的负曲率。
• 计算关键：Christoffel 符号和二阶微分方程。

后记

2025年4月9日22点44分于上海，在grok 3大模型辅助下完成。