【财务管理学】第二章财务管理的价值观念（2）计算思路

熟悉复利现值和终值、普通年金、预付年金、递延年金、永续年金和风险的计算思路。

一、复利现值（PV）与终值（FV）

复利终值的计算相对直接，但现值需要折现的概念，需要注意折现因子。

1. 复利终值（FV）

核心：当前资金按复利增长到未来某时的价值。
公式：

$FV=PV×(1+r)^{n}$

rr：每期利率
nn：期数

示例：
当前存入10,000元，年利率5%，投资5年：

$FV=10000×(1+0.05)^{5}=12762.82$ 元

2. 复利现值（PV）

核心：未来资金按折现率计算的当前价值。
公式（终值的逆运算）：

$PV=\frac{FV}{(1+r)^{n}}$

示例：
5年后需获得10,000元，年折现率5%，现在需存入：

$PV=\frac{10000}{(1+0.05)^{5}}=7835.26$ 元

二、年金计算

普通和预付年金的区别在于支付时间，预付年金需要调整公式，比如乘以(1+r)。递延年金则涉及两个阶段，延迟期和支付期，可能需要分步计算。永续年金比较简单，但需要注意无限期的假设。

1. 普通年金（Ordinary Annuity）

特点：每期期末支付，如房贷月供。

普通年金终值（FVA）：

$FVA=PMT×\frac{(1+r)^{n}-1}{r}$

普通年金现值（PVA）：

$PVA=PMT×\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

示例：
每年末存入1万元，年利率5%，5年后终值：

$FVA=10000×\frac{(1+0.05)^{5}-1}{0.05}=55256.31$ 元

2. 预付年金（Annuity Due）

特点：每期期初支付，如房租。

预付年金终值：普通年金终值 × (1 + r)

$FVA_{due}=PMT×\frac{(1+r)^{n}-1}{r}(1+r)$

预付年金现值：普通年金现值 × (1 + r)

$PVA_{due}=PMT×\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}(1+r)$

示例：
每年初支付1万元，年利率5%，5年后的终值：

3. 递延年金（Deferred Annuity）

特点：支付开始前有延迟期（如退休金从第5年开始领取）。
计算分两步：

计算年金在支付期初的现值（普通年金现值）；
折现到当前时点（复利现值）。

公式：

$PV=PMT×\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\frac{1}{(1+r)^{d}}$

dd：延迟期数
示例：
从第4年末开始，每年末领取1万元，共领3年，年利率5%，当前现值：

4. 永续年金（Perpetuity）

特点：无限期支付，如优先股股息。
公式（无终值，只有现值）：

$PV=\frac{PMT}{r}$

示例：
每年固定分红1,000元，年折现率5%，永续年金现值：

三、风险的计算

1. 风险衡量指标

标准差（σ）：衡量收益波动性。
- RiRi：单期收益率
- RˉRˉ：平均收益率
夏普比率（Sharpe Ratio）：衡量单位风险获得的超额收益。
- RfRf：无风险利率

2. 风险调整现值（风险折现）

在计算现值时，高风险项目需使用更高的折现率（r=无风险利率+风险溢价r=无风险利率+风险溢价）。
示例：
无风险利率3%，项目风险溢价4%，则折现率7%。
未来收益100万，现值：

四、综合应用示例

场景：比较两种投资方案

方案A：一次性投资50万元，5年后按复利6%计算终值。
方案B：每年初投资10万元，连续5年，复利5%，求终值。

结论：方案A收益更高，但需考虑流动性（方案B分期投入更灵活）。

五、关键总结

复利现值和终值：
- 终值公式体现“钱生钱”的指数增长；
- 现值公式用于评估未来现金流的当前价值。
年金计算：
- 普通年金与预付年金区别在于支付时点；
- 递延年金需分两步折现；
- 永续年金适用于无限期稳定现金流。
风险调整：
- 高风险需匹配高折现率或要求额外风险溢价；
- 标准差和夏普比率帮助量化风险与收益的平衡。

掌握这些计算思路，可应用于贷款决策、养老金规划、投资评估等实际场景，实现科学的财务管理和风险控制。