1. 引言
在数学优化领域，凸优化（Convex Optimization） 是一类具有广泛应用的重要优化问题。凸优化在机器学习、信号处理、控制系统、金融工程、运筹学等多个领域发挥着关键作用。其核心特性在于：如果问题是凸的，那么所有局部最优解都是全局最优解，使得优化问题更易求解。
本文将详细介绍凸优化的基本概念、数学定义、求解方法及其应用。
2. 凸优化的基本概念
凸优化问题通常可以表示为以下形式：
min x ∈ R n f ( x ) subject to g i ( x ) ≤ 0 , h j ( x ) = 0 \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \quad \text{subject to} \quad g_i(x) \leq 0, \quad h_j(x) = 0 minx∈Rnf(x)subject togi(x)≤0,hj(x)=0
其中：
- f ( x ) f(x) f(x) 是目标函数，
- g i ( x ) g_i(x) gi(x) 是不等式约束，
- h j ( x ) h_j(x) hj(x) 是等式约束。
如果目标函数 f ( x ) f(x) f(x) 为凸函数，并且不等式约束函数 g i ( x ) g_i(x) gi(x) 也是凸函数（等式约束为仿射函数），则该问题被称为凸优化问题。
2.1 凸集
一个集合 C ⊆ R n C \subseteq \mathbb{R}^n C⊆Rn 被称为凸集，如果对于任意的两个点 x 1