一阶与二阶连续时间系统和离散时间系统

6.5.1 一阶连续时间系统

定义：一阶连续时间系统由一阶线性常系数微分方程描述：
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$

时间常数：时间常数 $\tau =\frac{1}{a}$ 是系统响应速度的衡量指标。时间常数越小，系统响应越快。

冲激响应：一阶系统的冲激响应是指数衰减或增长的形式。例如，对于一个单位冲激输入，响应为：
$$h(t)=\frac{b}{a}{e}^{-at}$$

频率响应：一阶系统的频率响应函数为：
$$H(j\omega )=\frac{b}{a+j\omega }$$
其幅度响应和相位响应分别为：
$$|H(j\omega )|=\frac{b}{\sqrt{a^2+{\omega }^2}}$$
$$\angle H(j\omega )=-{\tan }^{-1}\left(\frac{\omega }{a}\right)$$

伯德图：一阶系统的伯德图在低频段为平坦，在高频段以$-20dB/decade$的斜率下降。

6.5.2 二阶连续时间系统

定义：二阶连续时间系统由二阶线性常系数微分方程描述：
$$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+2\zeta {\omega }_n\frac{dy(t)}{dt}+{\omega }_n^{2}y(t)={\omega }_n^{2}x(t)$$

自然频率和阻尼比：二阶系统的响应特性取决于自然频率 $ \omega_n $ 和阻尼比 $ \zeta $：

• 无阻尼（$\zeta =0$）：系统会产生持续的正弦振荡。
• 欠阻尼（$0<\zeta <1$）：系统会产生衰减的正弦振荡。
• 临界阻尼（$\zeta =1$）：系统会迅速达到稳态，无振荡。
• 过阻尼（$\zeta >1$）：系统会无振荡地缓慢达到稳态。

冲激响应：二阶系统的冲激响应形式较为复杂，取决于阻尼比的不同。例如，对于欠阻尼系统，冲激响应是衰减的正弦波。

频率响应：二阶系统的频率响应函数为：
$$H(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2}{{\omega }_n^2-{\omega }^2+j2\zeta {\omega }_n\omega }$$
其幅度响应和相位响应取决于 $ \zeta $ 和 $ \omega_n $ 的值。

伯德图：二阶系统的伯德图在低频段为平坦，在谐振频率处可能有峰值，在高频段以-40 dB/decade的斜率下降。

6.6.1 一阶离散时间系统

定义：一阶离散时间系统由一阶线性常系数差分方程描述：
$$y[n]-ay[n-1]=bx[n]$$

时间常数：离散时间系统的时间常数由 $ a $ 决定，$ |a| < 1 $ 时系统稳定。

冲激响应：一阶离散时间系统的冲激响应为：
$$h[n]=b{a}^{n}u[n]$$

频率响应：一阶离散时间系统的频率响应函数为：
$$H(e^{j\omega })=\frac{b}{1-a{e}^{-j\omega }}$$
其幅度响应和相位响应分别为：
$$|H(e^{j\omega })|=\frac{b}{\sqrt{1-2a\cos (\omega )+a^2}}$$
$$\angle H(e^{j\omega })={\tan }^{-1}\left(\frac{a\sin (\omega )}{1-a\cos (\omega )}\right)$$

6.6.2 二阶离散时间系统

定义：二阶离散时间系统由二阶线性常系数差分方程描述：
$$y[n]-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]=bx[n]$$

自然频率和阻尼比：二阶离散时间系统的特性由 $ a_1 $ 和 $ a_2 $ 决定，系统的极点位置影响其稳定性和响应特性。

冲激响应：二阶离散时间系统的冲激响应形式较为复杂，通常表现为指数衰减或振荡。

频率响应：二阶离散时间系统的频率响应函数为：
$$H(e^{j\omega })=\frac{b}{1-a_1{e}^{-j\omega }-a_2{e}^{-j2\omega }}$$
其幅度响应和相位响应取决于 $a_1$ 和 $a_2$ 的值。

伯德图：二阶离散时间系统的伯德图在低频段和高频段的行为与其连续时间系统类似，但具体形式由差分方程的系数决定。