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前言

支持向量机 （suppot vector machine , SVM） 算法是常用的经典的分类机器学习算法。本文将详细地，由浅入深地介绍一下支持向量机的原理和推导，以及SVM 核函数解决问题的思想，以及 SMO 算法的python实现。 本文先简单介绍下入门的超平面和点到超平面距离的”向量投影”理解，图形理解等，作为SVM的入门知识。

一、点到直线与超平面

• $点\begin{array}{c}(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0距离：\end{array}\begin{array}{c}d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{array}$
• $\begin{array}{c}点(x_1,y_1,z_1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离：d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}$
  有没有想过这个推导过程？我们看这个距离公式可以简单地理解为，将这个点代入到距离的方程中，然后取绝对值，再除以一个方程参数的 根号系数平方和。如果这样理解的话，那是背公式。在过去的考试里面背熟会考试就行，但如果继续往下做有关AI 的东西，那么数学是必须多点理解的。
  我们仔细看以上这个两个公式：
  $\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}& & d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}\end{array}$
  分子是一个点和一个直线相乘，分母则好像是在除以一个向量的模。
  这不难想到一个投影公式:
  
• 以上可以说是高中学的知识。学过矩阵论我们知道这个向量的模可以用二范数表示 也就是 ||a||。以上的线，面只是一个二维，三维的方程。如果是一个多维的呢？那么我就将它描述为超平面。
• 很简单，就是数据的维度增大了，我们发现平面坐标系喜欢用字母，x,y，表示2维，三维的时候喜欢用下，xyz,如果按照这个多维的概念就用一个字母表示的话那，肯定是不够用的。所以，现在都用向量的形式表示超平面。注意这里的单个向量都是表示列向量。x 用$\begin{array}{c}(x_1,x_2,...,x_m{)}^T\end{array}$表示,那么权重系数，如二维的直线 A，B，三维的A B C，现在用$\begin{array}{c}w=(w_1,w_2,...,w_k{)}^T\end{array}$表示，注意到还有一个偏差bias ,b ，因此超平面公式为：
  $\begin{array}{c}{w}^{T}x+b=0\end{array}$
  例子 原来的直线 2x+y-3=0，
  $\begin{array}{c}w=(2,1{)}^T,w^T=\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right],x=(x,y{)}^T=(x_1,x_2{)}^T\end{array}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
  因此直线表示为：
  $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+b=2x+y+b=0\end{array}$
  或更严格地：
  $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+b=2x_1+x_2+b=0\end{array}$

二、用图形理解距离是向量到法向量的投影

如下图所示：途中的红色直线是目标直线，P点为R2中任意一点，要求求出该点到直线（超平面的）L距离d, ，在图中知道有坐标点（2，1），连接坐标原点（0，0）得到法向量$\begin{array}{c}{w}^T\end{array}$与直线的 斜率向量$\begin{array}{c}w\end{array}$垂直。如图所示，依据几何关系可以证明出点P 到直线L的距离可以分为两部分，一部分是向量OP到向量$\begin{array}{c}{w}^T\end{array}$的投影，称为$\begin{array}{c}{d}_1\end{array}$; 另一部分则是直线$\begin{array}{c}L：2x+y+3=0\end{array}$，到直线，（图中紫色线）：$\begin{array}{c}{L}_0：2x+y=0\end{array}$的距离$\begin{array}{c}{d}_2\end{array}$，显然$\begin{array}{c}d=d_1+d_2\end{array}$.

由上述的公式得到：

• d1可以直接向量乘法得到，但是这里注意是距离因此分子要加个绝对值符号，分母为二范数必然大于0。
  $\begin{array}{c}{d}_1=\frac{w^{T}x}{\Vert w\Vert }\end{array}$
• 由两个平行直线的距离公式：$\begin{array}{c}{d}_2=\frac{C1-C2}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{b}{\Vert w\Vert }\end{array}$

注意以上的距离d1,d2 是一个可正可负的数值.

如图当不同的情况d = d1+ d2 仍成立但是d1,d2 是正负不一定。

$\begin{array}{c}d=d_1+d_2=\frac{w^{T}x}{\Vert w\Vert }+\frac{b}{\Vert w\Vert }=\frac{w^{T}x+b}{\Vert w\Vert }\end{array}$.
由于d 实际中需要计算的是距离，因此取绝对值，

得到任一点到超平面的距离

$\begin{array}{c}distance=\left|d\right|=\frac{|w^{T}x+b|}{\Vert w\Vert }\end{array}$

• d1 描述的是一个向量到超平面过原点时的平行超平面距离，这里说的平行即有相同的$\begin{array}{c}w\end{array}$。
• d2 表示的是超平面到其过原点的平行超平面距离。
  再看看之前的二维、三维情况，只是w的维度不一样：
• $点\begin{array}{c}(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0距离：\end{array}\begin{array}{c}d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{array}$
• $\begin{array}{c}点(x_1,y_1,z_1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离：d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}$

以上就是用向量的相乘–投影来表示向量到超平面的欧式距离计算公式推导。