低秩分解（Low-rank Decomposition）是一种矩阵分解技术，旨在将一个矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，从而将高维数据压缩为低维表示，以减少参数量。在大模型中，权重矩阵通常非常大，尤其是在全连接层和注意力机制中，运用低秩分解可以减少参数量和计算量。

权重矩阵 $W$ 的大小为 $m\times n$。通过低秩分解，可以将 $W$ 分解为两个较小的矩阵 $W_1,W_2$ 的乘积：

$$W\approx W_1\times W_2$$

其中 $W_1$ 的大小为 $m\times k$, $W_2$ 的大小为 $k\times n$, $k$ 是矩阵 $W$ 秩（rank），通常 $k$ 远小于 $min(m,n)$。

常见的低秩分解方法包括**奇异值分解（SVD）**和矩阵分解（如CP分解、Tucker分解、BTD 分解, https://zhuanlan.zhihu.com/p/490455377）。

1 低秩分解压缩模型

基本步骤：

• 选择需要分解的权重矩阵：通常选择全连接层和注意力机制中的权重矩阵进行低秩分解。
• 确定秩 $k$：选择合适的秩，通常通过实验或根据问题的具体要求来确定。
• 分解矩阵：使用 SVD 或其他低秩分解方法对权重矩阵进行分解。
• 重建权重矩阵：根据分解结果重建低秩近似矩阵。
• 微调模型：在低秩分解后，通常需要对模型进行微调，以恢复模型的性能。

2 实验

使用 pytorch 对 BERT 模型中的全连接层进行低秩分解，达到压缩模型的目的。

2.1 安装依赖

pip install transformers torch

2.2 加载预训练的BERT模型

import torch
from transformers import BertModel, BertConfig

# 加载预训练的BERT模型
model_name = 'bert-base-uncased'
config = BertConfig.from_pretrained(model_name)
model = BertModel.from_pretrained(model_name, config=config)

# 打印模型结构，找到需要分解的全连接层
print(model)

2.3 选择需要低秩分解的全连接层

对BERT的第一个注意力头中的线性变换层进行低秩分解:

# 选择第一个注意力头中的线性变换层
layer = model.encoder.layer[0].attention.self.query
print(layer)

2.4 对全连接层进行低秩分解

使用SVD（奇异值分解）对全连接层的权重矩阵进行分解。将权重矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积。

import torch.nn.functional as F

# 获取全连接层的权重矩阵
weight = layer.weight.data

# 对权重矩阵进行SVD分解
U, S, V = torch.svd(weight)

# 选择低秩分解的秩（rank）
rank = 10  # 选择一个较小的秩

# 截取前rank个奇异值和对应的奇异向量
U_low = U[:, :rank]
S_low = torch.diag(S[:rank])
V_low = V[:, :rank]

# 计算低秩分解后的权重矩阵
weight_low = U_low @ S_low @ V_low.t()

# 将低秩分解后的权重矩阵赋值回原层
layer.weight.data = weight_low

2.5 分解后的微调

分解后的模型可能需要进一步微调，以恢复部分损失的性能。

2.6 验证分解效果

通过比较分解前后的模型输出，来验证低秩分解的效果。

# 创建一个输入张量
input_ids = torch.tensor([[31, 51, 99, 1]])
attention_mask = torch.tensor([[1, 1, 1, 1]])

# 获取分解前的输出
with torch.no_grad():
    output_before = model(input_ids=input_ids, attention_mask=attention_mask)

# 对模型进行低秩分解
layer = model.encoder.layer[0].attention.self.query
weight = layer.weight.data
U, S, V = torch.svd(weight)
rank = 10
U_low = U[:, :rank]
S_low = torch.diag(S[:rank])
V_low = V[:, :rank]
weight_low = U_low @ S_low @ V_low.t()
layer.weight.data = weight_low

# 获取分解后的输出
with torch.no_grad():
    output_after = model(input_ids=input_ids, attention_mask=attention_mask)

# 比较分解前后的输出
print("Output before decomposition:", output_before)
print("Output after decomposition:", output_after)