题目

$$I(b)={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+(b^2-1){\cos }^{2}t}dt$$
上述函数的导数为
$$I^{\prime }(b)={\int }_0^{\pi /2}\frac{b{\cos }^{2}t}{\sqrt{1+(b^2-1){\cos }^{2}t}}dt$$
采用三种方法中最好的方法计算这一积分

(1)利用数值积分的方法给出 $I(b)$ 在 $b=0,0.1,0.2,\dots ,1$ (可以直接计算精确值的，用精确值),用Newton插值方法得到5个椭圆的周长（五个椭圆具体见上一篇图片文件的初步处理与椭圆的最小二乘拟合）。
(2)利用数值积分的方法给出$I^{\prime }(b)$, 在$b=0,0.1,0.2,\dots ,1$ (可以直接计算精确值的，用精确值)，用Hermite插值方法得到5个椭圆的周长。

算法介绍

Netown插值

根据均差的定义，把$x$看成$[a,b]$上的一点，可以得到
$$f(x)=f(x_0)+f\left[x,x_0\right](x-x_0)$$

f ( x , x 0 ) = f ( x 0 , x 1 ) + f [ x , x 0 , x 1 ] ( x − x 1 ) f ( x , x _ { 0 } ) = f ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + f [ x , x _ { 0 } , x _ { 1 } ] ( x - x _ { 1 } ) f(x,x