李群与李代数在计算机中的应用

写给计算机系同学的李群与李代数（五）：最大阿贝尔子代数与李代数的分解

在前五篇文章中，我们从李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）的基本概念出发，逐步探索了矩阵指数映射（Matrix Exponential）、李括号（Lie Bracket）、结构常数（Structure Constants），以及最大阿贝尔子代数（Maximal Abelian Subalgebra, MASA）。这些数学工具看似抽象，却在计算机科学中有着广泛而深刻的应用。今天，我们将聚焦于李群与李代数如何解决实际问题，涵盖计算机图形学（Computer Graphics）、机器人学（Robotics）和机器学习（Machine Learning）。通过公式推导、具体例子和直观解释，我们将展示这些理论如何转化为高效的算法和优雅的解决方案。

李群与李代数的核心优势

为什么李群和李代数在计算机科学中如此重要？它们提供了描述连续变换（Continuous Transformation）的自然框架，具有以下优势：

• 几何约束：李群（如 SO(3)、SE(3)）天然保持变换的性质，例如旋转的正交性或刚体运动的结构。
• 局部线性化：李代数提供了一个线性空间，简化了非线性优化问题。
• 非交换性：李括号捕捉了变换的顺序依赖，适用于复杂运动的建模。

让我们通过三个领域——计算机图形学、机器人学和机器学习——具体探讨这些应用。

应用一：计算机图形学中的旋转与插值

在 3D 动画和游戏开发中，物体的旋转是核心任务。特殊正交群（Special Orthogonal Group, SO(3)）描述三维旋转，其李代数 $\text{so}(3)$ 由反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）组成。

平滑旋转插值

假设我们需要让一个物体从旋转矩阵 $R_1\in \text{SO}(3)$ 平滑过渡到 $R_2\in \text{SO}(3)$，时间从 $t=0$ 到 $t=1$。直接在矩阵空间插值（例如 $(1-t)R_1+t{R}_2$）会破坏正交性，导致非旋转矩阵。使用李代数可以优雅地解决这个问题。

推导

1. 计算相对旋转：
   $$R=R_1^T{R}_2$$
   $R\in \text{SO}(3)$ 表示从 $R_1$ 到 $R_2$ 的旋转。

2. 映射到 $\text{so}(3)$：
   使用矩阵对数（Matrix Logarithm），近似为：
   $$B=\log R\in \text{so}(3)$$
   $B$ 是反对称矩阵，表示旋转轴和角度。例如，若 $R=e^B$，则 $B=\omega \hat{B}$，其中 $\hat{B}$ 是单位旋转轴对应的矩阵，$\omega$ 是旋转角。

3. 插值：
   在李代数中线性插值：
   $$B(t)=tB$$
   然后映射回 SO(3)：
   $$R(t)=R_1{e}^{tB}=R_1{e}^{t\log (R_1^T{R}_2)}$$
   当 $t=0$，$R(0)=R_1$；当 $t=1$，$R(1)=R_{1}R=R_2$。

例子：游戏角色旋转

在游戏中，角色的朝向从 $R_1$（面向 x 轴）变为 $R_2$（面向 y 轴）。计算：
$$R_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],R_2=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
相对旋转：
$$R=R_1^T{R}_2=R_2$$
对数近似（假设小角度，或使用 Rodrigues 公式反推）：
$$\log R_2\approx \frac{\pi }{2}\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
插值路径：
$$R(t)=e^{t\frac{\pi }{2}\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (t\frac{\pi }{2})& -\sin (t\frac{\pi }{2})& 0\\ \sin (t\frac{\pi }{2})& \cos (t\frac{\pi }{2})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
这实现了绕 z 轴的平滑旋转，保证了正交性。

几何意义

李代数 $\text{so}(3)$ 提供了一个“平坦”的空间，旋转轴和角度可以线性插值。指数映射 $e^{tB}$ 将其转化为 SO(3) 中的曲线，像是从“角速度”到“旋转角度”的积分。这种方法避免了欧拉角（Euler Angles）的万向节锁（Gimbal Lock）问题。

应用二：机器人学中的运动规划

欧几里得群（Euclidean Group, SE(3)）描述三维空间的刚体变换（旋转加平移），其李代数 $\text{se}(3)$ 由矩阵构成：
$$\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right],B\in \text{so}(3),v\in {\mathbb{R}}^3$$
在机器人学中，$\text{se}(3)$ 用于优化机械臂或无人机的运动轨迹。

螺旋运动（Screw Motion）

$\text{se}(3)$ 的指数映射生成螺旋运动，结合旋转和平移。例如，考虑：
$$A=\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right]$$
其中 $B$ 是角速度矩阵，$v$ 是线速度向量。指数映射：
$$e^{tA}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{tB}& Vv\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中 $V$ 是旋转相关的矩阵（见第三篇博客）。

推导：路径优化

假设机械臂从位姿 $T_1\in \text{SE}(3)$ 移动到 $T_2\in \text{SE}(3)$，我们希望最小化路径的“能量”。直接在 SE(3) 上优化是复杂的非线性问题，但在 $\text{se}(3)$ 上可以通过线性化简化。

1. 相对位姿：
   $$T=T_1^{-1}{T}_2$$
2. 映射到 $\text{se}(3)$：
   $$A=\log T\in \text{se}(3)$$
3. 优化目标：
   假设路径为 $T(t)=T_1{e}^{tA}$，优化角速度和线速度的范数：
   $$\min {\int }_0^1\Vert A(t){\Vert }^{2}dt$$
   在 $\text{se}(3)$ 上，这是一个二次优化问题。

例子：机械臂运动

假设机械臂从位姿：
$$T_1=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
移动到：
$$T_2=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ 0& 1\end{array}\right]$$
计算相对位姿并取对数（近似）：
$$A=\log T_2\approx \left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}0& -\frac{\pi }{2}& 0\\ \frac{\pi }{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ 0& 0\end{array}\right]$$
路径：
$$T(t)=e^{tA}$$
这描述了绕 z 轴旋转 $\frac{\pi }{2}$ 同时沿 x 轴平移的过程。优化可通过 $\text{se}(3)$ 的线性结构调整 $A$ 的分量。

几何意义

$\text{se}(3)$ 将刚体运动分解为旋转和平移的“速度”，指数映射生成平滑的螺旋路径。几何上，$\text{se}(3)$ 是 SE(3) 的“切空间”，提供了局部线性化的工具，方便梯度下降等优化方法。

应用三：机器学习中的流形优化

在机器学习中，许多问题涉及在李群上优化，例如神经网络的正交约束或机器人数据的流形学习。李群（如 SO(n)）的非欧几里得结构需要特殊的优化方法，而李代数提供了解决方案。

李代数上的导数

假设我们优化一个旋转矩阵 $R\in \text{SO}(n)$，目标是最小化损失函数 $f(R)$。直接在 SO(n) 上计算梯度是复杂的，因为 $R$ 受正交约束 $R^{T}R=I$。使用李代数 $\text{so}(n)$ 简化问题。

推导：梯度下降

1. 参数化：
   表示 $R=e^B$，其中 $B\in \text{so}(n)$ 是反对称矩阵。
2. 导数：
   损失函数变为 $f(e^B)$。在 $\text{so}(n)$ 上计算导数：
   $$\frac{d}{dt}f(e^{B+tA}){|}_{t=0}$$
   其中 $A\in \text{so}(n)$ 是扰动方向。梯度可以通过矩阵内积表示：
   $$⟨{\nabla }_{B}f,A⟩=\text{tr}\left((\nabla f{)}^{T}A\right)$$
3. 更新：
   更新 $B$：
   $$B\leftarrow B-\eta {\nabla }_{B}f$$
   然后映射回 SO(n)：
   $$R\leftarrow e^B$$

例子：正交化神经网络

在深度学习中，正交矩阵用于保持信号的稳定性（例如在 RNN 或 GAN 中）。优化目标可能是：
$$\underset{R\in \text{SO}(n)}{\min }\Vert RX-Y{\Vert }^2$$
其中 $X,Y$ 是数据矩阵。参数化 $R=e^B$，梯度为：
$${\nabla }_{B}f=\text{skew}\left(e^B(RX-Y)X^T\right)$$
其中 $\text{skew}(M)=\frac{M-M^T}{2}$ 确保反对称性。通过李代数迭代优化，保证 $R$ 始终在 SO(n) 上。

几何意义

李代数 $\text{so}(n)$ 是 SO(n) 的“局部坐标系”，将非线性流形优化转化为线性空间的优化。几何上，李代数像是“切平面”，梯度下降在切平面内移动，再通过指数映射回到流形。

综合例子：从动画到机器人

考虑一个综合场景：一个机器人手臂在 3D 动画中执行任务。手臂的位姿由 SE(3) 描述，动画需要平滑插值，机器人需要优化路径。

1. 动画插值：
   使用 $\text{se}(3)$ 的对数映射计算从 $T_1$ 到 $T_2$ 的相对变换 $A$，然后插值 $T(t)=e^{tA}$，确保平滑的螺旋运动。

2. 路径优化：
   在 $\text{se}(3)$ 上优化 $A$ 的分量，最小化能量或避障约束，使用梯度下降。

3. 正交约束：
   如果涉及传感器数据处理（例如姿态估计），使用 $\text{so}(3)$ 优化旋转矩阵，保持正交性。

几何意义

李群和李代数将复杂的非线性问题分解为局部线性和全局约束。$\text{se}(3)$ 的螺旋运动像是“螺丝拧动”，$\text{so}(3)$ 的旋转像是“绕轴转动”，这些几何图像帮助我们设计直观的算法。

直观总结

• 计算机图形学：$\text{so}(3)$ 用于平滑旋转插值，避免万向节锁。
• 机器人学：$\text{se}(3)$ 描述螺旋运动，优化运动规划。
• 机器学习：李代数简化流形优化，保持几何约束。
• 几何意义：李代数是“速度”，李群是“位置”，指数映射连接两者，提供了局部与全局的桥梁。
• 核心优势：李群保持几何结构，李代数提供线性化工具，共同解决非线性问题。

通过这六篇博客，我们从李群与李代数的基础理论到实际应用，构建了一个完整的知识体系。希望你现在不仅理解了这些数学工具的优雅，还能感受到它们在计算机科学中的强大力量！未来，你可以进一步探索李群上的微分几何或更复杂的李代数（如 $\text{sp}(n)$），开启更广阔的旅程。

后记

2025年4月12日于上海，在grok 3大模型辅助下完成。