李括号与结构常数

写给计算机系同学的李群与李代数（三）：矩阵指数与李群-李代数对应

在前三篇文章中，我们从李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）的基本概念出发，探索了特殊正交群（Special Orthogonal Group, SO(n)）的李代数 $\text{so}(n)$，并通过矩阵指数映射（Matrix Exponential）建立了李群与李代数的对应。今天，我们将深入探讨李代数的“心脏”——李括号（Lie Bracket），并引入结构常数（Structure Constants），揭示李代数的代数结构。通过公式推导、具体例子和几何解释，我们将展示李括号如何描述变换的非交换性，以及结构常数如何量化李代数的“形状”，为计算机科学中的应用奠定基础。

李括号（Lie Bracket）的核心作用

李代数 $\mathfrak{g}$ 是一个向量空间，配备了李括号 $[\cdot ,\cdot ]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$，通常对于矩阵李代数定义为交换子：
$$[A,B]=AB-BA$$
李括号满足以下性质：

1. 反对称性（Antisymmetry）：
   $$[A,B]=-[B,A]$$
2. 双线性（Bilinearity）：
   $$[cA+dB,C]=c[A,C]+d[B,C]$$
3. Jacobi 恒等式（Jacobi Identity）：
   $$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0$$

李括号的作用在于捕捉李代数元素之间的“非交换”关系。几何上，它描述了两个无穷小变换（Infinitesimal Transformation）组合后产生的“偏差”。在物理学和计算机科学中，这种非交换性至关重要，例如三维旋转的顺序依赖。

以 $\text{so}(3)$ 为例：李括号的计算

让我们以 $\text{so}(3)$（SO(3) 的李代数）为例，具体计算李括号。$\text{so}(3)$ 由 $3\times 3$ 反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）组成，其标准基为：
$$B_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right],B_3=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
这些基分别对应绕 x、y、z 轴的无穷小旋转。

计算 $[B_1,B_2]$

$$B_1{B}_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
$$B_2{B}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
$$[B_1,B_2]=B_1{B}_2-B_2{B}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=B_3$$
类似地：
$$[B_2,B_3]=B_1,[B_3,B_1]=B_2$$
总结为：
$$[B_i,B_j]={ϵ}_{ijk}{B}_k$$
其中 ${ϵ}_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符号（完全反对称张量），例如 ${ϵ}_{123}=1$，${ϵ}_{132}=-1$，${ϵ}_{112}=0$。

验证 Jacobi 恒等式

为了确认 $\text{so}(3)$ 是一个李代数，我们验证 Jacobi 恒等式。取 $A=B_1,B=B_2,C=B_3$：
$$[[B_1,B_2],B_3]+[[B_2,B_3],B_1]+[[B_3,B_1],B_2]=0$$
计算每一项：

• $[B_1,B_2]=B_3$，所以：
  $$[[B_1,B_2],B_3]=[B_3,B_3]=0$$
• $[B_2,B_3]=B_1$，所以：
  $$[[B_2,B_3],B_1]=[B_1,B_1]=0$$
• $[B_3,B_1]=B_2$，所以：
  $$[[B_3,B_1],B_2]=[B_2,B_2]=0$$
  总和为：
  $$0+0+0=0$$
  Jacobi 恒等式成立，确认 $\text{so}(3)$ 的李括号定义了一致。

几何意义

李括号 $[B_i,B_j]={ϵ}_{ijk}{B}_k$ 描述了旋转的非交换性。例如，$[B_1,B_2]=B_3$ 表明，先绕 y 轴进行无穷小旋转，再绕 x 轴，与相反顺序的组合，会产生一个绕 z 轴的净旋转。这种现象与三维空间旋转的顺序依赖一致：试着拿一个物体，先绕 x 轴旋转 90°，再绕 y 轴旋转 90°，然后反过来试，结果不同！

李括号的结构与向量叉积密切相关。如果我们将 $B_1,B_2,B_3$ 对应于单位向量 $e_1,e_2,e_3$，则 $[B_i,B_j]$ 对应于 $e_i\times e_j$。这为 $\text{so}(3)$ 提供了直观的物理解释：旋转轴的组合类似叉积的方向。

结构常数（Structure Constants）

李括号的规律可以用结构常数量化。对于李代数 $\mathfrak{g}$ 的基 { B 1 , B 2 , … , B n } \{ B_1, B_2, \ldots, B_n \} { B1​,B2​,…,Bn​}，结构常数 $c_{ij}^k$ 定义为：
$$[B_i,B_j]=\sum _k{c}_{ij}^k{B}_k$$
结构常数完全描述了李代数的代数结构，是李代数的“指纹”。

$\text{so}(3)$ 的结构常数

从前面的计算：
$$[B_i,B_j]={ϵ}_{ijk}{B}_k$$
因此，$\text{so}(3)$ 的结构常数为：
$$c_{ij}^k={ϵ}_{ijk}$$
例如：

• $[B_1,B_2]=B_3$，所以 $c_{12}^3=1$，其他 $c_{12}^k=0$。
• $[B_2,B_1]=-B_3$，所以 $c_{21}^3=-1$。
• $[B_1,B_1]=0$，所以 $c_{11}^k=0$。

推导结构常数的性质

结构常数满足以下性质：

1. 反对称性：由于 $[B_i,B_j]=-[B_j,B_i]$，有：
   $$c_{ij}^k=-c_{ji}^k$$
2. Jacobi 恒等式约束：Jacobi 恒等式对应于：
   $$\sum _l(c_{ij}^l{c}_{lk}^m+c_{jk}^l{c}_{li}^m+c_{ki}^l{c}_{lj}^m)=0$$
   对于 $\text{so}(3)$，${ϵ}_{ijk}$ 天然满足这些约束。例如，验证 Jacobi 约束：
   $$[B_i,[B_j,B_k]]+[B_j,[B_k,B_i]]+[B_k,[B_i,B_j]]=0$$
   取 $i=1,j=2,k=3$：
   $$[B_1,[B_2,B_3]]=[B_1,B_1]=0,[B_2,[B_3,B_1]]=[B_2,B_2]=0,[B_3,[B_1,B_2]]=[B_3,B_3]=0$$
   约束成立。

例子：结构常数的作用

假设我们有两个角速度 ${\omega }_1{B}_1$ 和 ${\omega }_2{B}_2$，想知道它们的组合效应：
$$[{\omega }_1{B}_1,{\omega }_2{B}_2]={\omega }_1{\omega }_2[B_1,B_2]={\omega }_1{\omega }_2{B}_3$$
这表明组合产生一个绕 z 轴的净旋转，量级由 ${\omega }_1{\omega }_2$ 决定。结构常数 ${ϵ}_{ijk}$ 量化了这种效应。在机器人学中，这种计算帮助预测多个运动的合成结果。

几何意义

结构常数 $c_{ij}^k$ 描述了李代数中基向量的“交互规则”。对于 $\text{so}(3)$，${ϵ}_{ijk}$ 就像叉积的规则，决定了旋转轴如何相互影响。几何上，结构常数刻画了李代数的“曲率”或“非平坦性”，反映了变换的复杂性。

对比：$\text{su}(2)$ 的结构常数

为了拓宽视野，我们简要介绍 $\text{su}(2)$，它是特殊酉群（Special Unitary Group, SU(2)）的李代数，包含 $2\times 2$ 反厄米矩阵（Anti-Hermitian Matrix）。其基可以取为 Pauli 矩阵的变体：
$${\sigma }_1=\frac{i}{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\sigma }_2=\frac{i}{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],{\sigma }_3=\frac{i}{2}\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right]$$
计算李括号：
$$[{\sigma }_1,{\sigma }_2]=\frac{i}{2}{\sigma }_3,[{\sigma }_2,{\sigma }_3]=\frac{i}{2}{\sigma }_1,[{\sigma }_3,{\sigma }_1]=\frac{i}{2}{\sigma }_2$$
结构常数为：
$$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=\frac{i}{2}{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$$
$\text{su}(2)$ 和 $\text{so}(3)$ 的结构常数形式相似（同构于实李代数），但 $\text{su}(2)$ 出现在量子力学和计算机图形学的四元数表示中。

例子：四元数与 $\text{su}(2)$

在 3D 动画中，四元数常用于旋转插值。$\text{su}(2)$ 的指数映射生成 SU(2) 元素，与四元数对应。结构常数帮助我们理解四元数旋转的非交换性，类似 $\text{so}(3)$ 的旋转组合。

计算机科学中的意义

李括号和结构常数在计算机科学中有直接应用：

• 机器人学：李括号用于分析多关节机器人的运动合成，结构常数帮助优化控制策略。
• 计算机图形学：$\text{so}(3)$ 的结构常数用于平滑旋转插值，避免万向节锁（Gimbal Lock）。
• 机器学习：李代数的结构在流形优化中提供约束，例如保持旋转矩阵的正交性。

直观总结

• 李括号：量化了无穷小变换的非交换性，是李代数代数结构的核心。
• 结构常数：描述基向量之间的交互规则，类似李代数的“DNA”。
• $\text{so}(3)$ 的例子：李括号 ${ϵ}_{ijk}{B}_k$ 反映了三维旋转的非交换性，与叉积类似。
• 几何意义：李括号捕捉旋转的“偏差”，结构常数刻画李代数的“形状”。
• 应用：从机器人运动到 3D 动画，李括号和结构常数提供了分析和优化的工具。

下一篇文章将探讨最大阿贝尔子代数（Maximal Abelian Subalgebra, MASA），进一步分解李代数的结构。希望你现在对李括号和结构常数有了更深的理解！

后记

2025年4月12日于上海，在grok 3大模型辅助下完成。