2. 感知机——准备知识：梯度下降法

梯度下降法是一种求解无约束最优化问题的最常用方法。

2.1 直观理解

如何下山最快，走一步看一步，每到一处感受当前所处位置最陡的方向再往下迈一步，以此类推……
现在我们假设有一个可微函数，我们想找到这个可微函数的最小值，也就是相当于找到山的山底，每次找到该点相应的梯度，沿着梯度的反方向往下走，这就是使函数值下降最快的方向。

2.2 概念

2.2.1 基本概念

【注】前置知识：方向导数
方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个点沿着某一特定方向变化的速率。具体来说，方向导数描述了函数值在该点沿着某个给定方向的变化速度。

• 数学定义
  设$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是一个多元实值函数，定义在${\mathbb{R}}^n$（$n$维欧氏空间）中。给定一个点$\mathbf{p}=(P_1,P_2,\cdots ,P_n)$（以向量形式表示的点） 和一个单位向量$\mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$（即$|\mathbf{v}|=1$），方向导数是函数$f$在点$P$沿着方向$\mathbf{v}$的导数，通常表示为：
  $$D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{p})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(\mathbf{p}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{p})}{h}$$
  如果极限存在，那么这个极限值就是方向导数的值。
• 解释：
  方向导数的几何意义是：给定点$\mathbf{p}$和一个方向$\mathbf{v}$，方向导数表示了函数$f$在点$\mathbf{p}$沿着方向$\mathbf{v}$的瞬时变化率。换句话说，它描述了沿着这个方向，函数值如何变化。
• 如果方向导数是正数，表示沿着方向$\mathbf{v}$的函数值增大；
• 如果是负数，表示函数值在该方向上减小；
  如果为零，表示在该方向上函数值没有变化（即沿该方向没有变化的趋势，可能是平坦的）。

梯度向量：
梯度向量（Gradient Vector）是多元函数的一个重要概念，它反映了该函数在某一点处的最大变化率的方向和大小。梯度不仅指示了函数增长最快的方向，还给出了沿该方向变化的速率。

• 数学定义：假设$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是定义在${\mathbb{R}}^n$空间中的一个可微函数，梯度向量$\nabla f\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$就是该函数所有偏导数的向量。它可以表示为：
  $$\nabla f\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$
  换句话说，梯度向量是由函数$f$对每个自变量的偏导数组成的向量。

• 梯度：指某一函数再该点处最大的方向导数，沿着该方向可取得最大的变化率。
  $$\nabla =\frac{\partial f(\theta )}{\partial \theta }$$

【注】方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度（gradient）密切相关。设$\nabla f(\mathbf{p})=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$是函数$f$在点$\mathbf{p}$的梯度向量。那么，沿任意方向$\mathbf{v}$的方向导数可以通过梯度与方向向量的点积来计算：
$$D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}{v}_i$$
这个公式告诉我们，方向导数等于梯度向量和方向向量的点积。
梯度的几何意义

• 最大变化方向：梯度向量指向函数$f$在某一点处变化最快的方向。换句话说，沿着梯度方向，函数的值增大的速度最快。
• 变化速率：梯度的模长 ∣ ∇