插值余项

若在[$a,b$]上用 $L_n(x)$近似 $f(x)$,则其截断误差为 $R_n(x)=f(x)-L_n(x)$,$R_n(x)$也称为插值多项式的余项或插值余项.

定理

关于插值余项估计有以下定理：

设 $f^{(n)}(x)$在$[a,b]$上连续$,f^{(n+1)}(x)$在$(a,b)$内存在，节点 $a⩽x_0<x_0$,$<\cdot \cdot \cdot <x_n⩽b,L_n(x)$是满足节点条件的插值多项式，则对于任何 $x\in [a,b]$,插值余项

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x).$$

这里 $,\xi \in (a,b)$且依赖于 $x$。

证明：

由给定条件知 $,R_n(x)$在节点 $x_k(k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n)$上为零，即

$$R_n\left(x_k\right)=0\left(k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n\right)$$

于是， $R_n(x)=K(x)(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)=K(x){\omega }_{n+1}(x)$

其中 $K(x)$是与 $x$ 有关的待定函数。

现把 $x$ 看成[$a,b]$上一个固定点，作函数

$$\phi (t)=f(t)-L_n(t)-K(x)(t-x_0)(t-x_1)\cdots (t-x_n)$$

根据插值条件及余项定义，可知 $\phi (t)$在点 $x_0,x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n$ 及$x$ 处均为零，故 $\phi (t)$在$[a,b]$上有 $n+2$ 个零点。

根据 Rolle 定理$,{\phi }^{\prime }(t)$在 $\phi (t)$的两个零点间至少有一个零点，故${\phi }^{\prime }(t)$在$[a,b]$上至少有 $n+1$ 个零点。

对 ${\phi }^{\prime }(t)$再应用 Rolle 定理，可知${\phi }^{\prime }\prime (t)$在$[a,b]$上至少有 $n$ 个零点。

依此类推$,{\phi }^{(n+1)}(t)$在$(a,b)$内至少有一个零点，记作 $\xi \in$ $(a,b)$,使

$${\phi }^{(n+1)}{\left(\xi \right)}^{=}{f}^{(n+1)}\left(\xi \right)-\left(n+1\right)!K\left(x\right)=0$$

于是，$K(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$, $\xi \in (a,b)$且依赖于$x$

将上式代人
$$R_n(x)=K(x)(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)=K(x){\omega }_{n+1}(x)$$

就得到余项表达式。