【CodeChef RNG】Random Number Generator（多项式取模）

题目大意

给定数组 $A$ 的前 $K$ 位，和一个 $K$ 位的数组 $C$ （ $1\leq K\leq 30000$ ），

A_{i} = \sum_{j = 1}^{K} A_{i - j} \times C_{j}

$A_i=\sum_{j=1}^K A_{i-j}\times C_j$
求

A_{N}

$A_N$ （

1 \leq N \leq 10^{18}

$1\leq N\leq 10^{18}$ ）。

subtask 1: $1\leq K\leq3000$
subtask 2: $1\leq K\leq 30000$

题解

本来要用 Cayley-Hamilton定理 ，奇怪的玩意儿，但我看不懂X﹏X。。。于是尝试避开这个东西来理解。

最后的结果一定是从A的前k位转移过来的，设结果：

a n s = f_{1} A_{1} + f_{2} A_{2} + f_{3} A_{3} + . . . + f_{K} A_{K}

$ans=f_1A_1+f_2A_2+f_3A_3+...+f_KA_K$
当

N = 1

$N=1$ 时：

f : \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & . . . & 0 \end{matrix}

$f:\begin{matrix} 1&0&0&...&0\\ \end{matrix}$
当

N = 2

$N=2$ 时：

f : \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & . . . & 0 \end{matrix}

$f:\begin{matrix} 0&1&0&...&0\\ \end{matrix}$
相当于每次都右移1位。
直到

N = K + 1

$N=K+1$

f : \begin{matrix} C_{K} & C_{K - 1} & C_{K - 2} & . . . & C_{1} \end{matrix}

$f:\begin{matrix} C_K&C_{K-1}&C_{K-2}&...&C_1\\ \end{matrix}$
如果把

f

$f$ 看作多项式：

f (x) = f_{1} + f_{2} x + f_{3} x^{2} + . . . + f_{K} x^{K - 1}

$f(x)=f_1+f_2x+f_3x^2+...+f_Kx^{K-1}$
右移操作就相当于将

f (x)

$f(x)$ 变为

x f (x)

$xf(x)$ ，
如果出现了第

x^{K}

$x^K$ 项，需要把它化为

x^{0}

$x^0$ ~

x^{K - 1}

$x^{K-1}$ 项

x^{K} = C_{K} + C_{K - 1} x + C_{K - 2} x^{2} + . . . + C_{1} x^{K - 1}

$x^K=C_K+C_{K-1}x+C_{K-2}x^2+...+C_1x^{K-1}$
令

p (x) = x^{K} - C_{K} - C_{K - 1} x - C_{K - 2} x^{2} - . . . - C_{1} x^{K - 1}

$p(x)=x^K-C_K-C_{K-1}x-C_{K-2}x^2-...-C_1x^{K-1}$
实际上就是把多项式

f (x) m o d p (x)

$f(x)\space mod\space p(x)$ ，就可以把

x_{K}

$x_K$ 及以后的项全部化为

x^{0}

$x^0$ ~

x^{K - 1}

$x^{K-1}$
因为：

f_{K + 1} x^{K}

$f_{K+1}x^K$ 取模相当于把

f (x)

$f(x)$ 变为

f (x) - f_{K + 1} x^{K} + f_{K + 1} C_{K} + f_{K + 1} C_{K - 1} x + . . . + f_{K + 1} C_{1} x^{K - 1}

$f(x)-f_{K+1}x^K+f_{K+1}C_K+f_{K+1}C_{K-1}x+...+f_{K+1}C_1x^{K-1}$

令转移多项式 $t(x)=x$
最终结果即为 $f=t^N\space mod\space p$ ;
利用多项式快速幂，多项式取模可以做到 $O(K\log_2 K \log_2 N)$ 。

推广

凡是第 $i$ 项可以由前面 $k$ 项通过常数系数得到的递推（实际上就是可以使用矩阵加速的递推），都可以转为多项式取模，若

A_{i} = \sum_{j = 1}^{k} f_{j} A_{i - j}

$A_i=\sum_{j=1}^kf_jA_{i-j}$
则可以通过取模

p (x) = x^{k} - \sum_{j = 1}^{k} f_{j} x^{k - j}

$p(x)=x^k-\sum_{j=1}^kf_jx^{k-j}$
进行递推。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXK=30005,MOD=104857601,ROOT=3;
typedef int Poly[MAXK*5];

int PowMod(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(1LL*res*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void NTT(Poly &a,int n,int mode)
{
    for(int i=0,j=0;i<n;i++)
    {
        if(i<j)
            swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(k&&(k&j))
            j^=k,k>>=1;
        j^=k;
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w1=PowMod(ROOT,(MOD-1)/(i<<1)),w=1;
        if(mode==-1)
            w1=PowMod(w1,MOD-2);
        for(int j=0;j<i;j++,w=(1LL*w*w1)%MOD)
            for(int l=j,r=l+i;l<n;l+=(i<<1),r=l+i)
            {
                int temp=(1LL*a[r]*w)%MOD;
                a[r]=(a[l]-temp+MOD)%MOD;
                a[l]=(a[l]+temp)%MOD;
            }
    }
    if(mode==-1)
    {
        int inv=PowMod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=(1LL*a[i]*inv)%MOD;
    }
}
void Inv(Poly &a,Poly &i,int n)
{
    static Poly temp;
    if(n==1)
    {
        i[0]=PowMod(a[0],MOD-2);
        return;
    }
    Inv(a,i,(n+1)/2);
    int len=1;
    while(len<n*2-1)
        len<<=1;
    copy(a,a+n,temp);
    fill(temp+n,temp+len,0);
    NTT(temp,len,1);
    fill(i+n,i+len,0);
    NTT(i,len,1);
    for(int j=0;j<len;j++)
        i[j]=1LL*i[j]*((2LL-1LL*temp[j]*i[j]%MOD+MOD)%MOD)%MOD;
    NTT(i,len,-1);
    fill(i+n,i+len,0);
}
void Mod(Poly &a,const Poly &p,int n,int m)
{
    static Poly temp,p0,p1,c;
    copy(a,a+n,temp);
    reverse(temp,temp+n);
    copy(p,p+m,p0);
    reverse(p0,p0+m);
    Inv(p0,p1,n-m+1);
    int len=1;
    while(len<(n-m+1)*2-1)
        len<<=1;
    fill(temp+n-m+1,temp+len,0);
    NTT(temp,len,1);
    fill(p1+n-m+1,p1+len,0);
    NTT(p1,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        c[i]=(1LL*temp[i]*p1[i])%MOD;
    NTT(c,len,-1);
    fill(c+n-m+1,c+len,0);
    reverse(c,c+n-m+1);
    len=1;
    while(len<n)
        len<<=1;
    NTT(c,len,1);
    fill(p0+m,p0+len,0);
    reverse(p0,p0+m);
    NTT(p0,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        c[i]=(1LL*c[i]*p0[i])%MOD;
    NTT(c,len,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=(a[i]-c[i]+MOD)%MOD;
}
void MulMod(Poly &a,const Poly &b,const Poly &p,int n)
{
    static Poly temp;
    copy(b,b+n,temp);
    int len=1;
    while(len<n*2)
        len<<=1;
    fill(a+n,a+len,0);
    fill(temp+n,temp+len,0);
    NTT(a,len,1);
    NTT(temp,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i]=(1LL*a[i]*temp[i])%MOD;
    NTT(a,len,-1);
    Mod(a,p,n*2-1,n);
}
void PowMod(Poly &res,Poly &a,long long b,const Poly &p,int n)
{
    fill(res,res+n,0);
    res[0]=1;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            MulMod(res,a,p,n);
        MulMod(a,a,p,n);
        b>>=1LL;
    }
}

Poly A,C,p,t,f;
int main()
{
    long long N;
    int K;
    scanf("%d%lld",&K,&N);
    for(int i=0;i<K;i++)
        scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=0;i<K;i++)
        scanf("%d",&C[i]);

    p[K]=1;
    for(int i=0;i<K;i++)
        p[i]=(MOD-C[K-i-1])%MOD;
    t[1]=1;
    PowMod(f,t,N-1,p,K+1);

    int ans=0;
    for(int i=0;i<K;i++)
        ans=(ans+(1LL*A[i]*f[i])%MOD)%MOD;
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

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