上一篇介绍了WFST的基本概念，是了解一下算法的核心，如果对此不了解，建议先看语音识别WFST核心算法讲解(1. WFST的基本概念)
本文介绍Composition算法。首先介绍epsilon-free的composition，然后扩展至generic composition，最后对时间复杂度分析，介绍实际工程中openfst和kaldi中的一些优化技巧。
epsilon-free的composition算法伪代码如下：
接下来line by line介绍这一算法。
首先对于T1， T2两个图，将两者的初始状态合并作为输出结果图的初始状态， 将其放入队列S中（line1 - line5），只要S不为空（line 6）依次拿出S中第一个状态对q(q1, q2)（q是一个pair，分别是两个图中的State)，如果q1是T1 的终止状态， q2是T2的终止状态，将q作为输出结果的终止状态(line9 - line12)。 对于每个从q1出发的转移e1，从q2出发的转移e2，组成转移对（e1, e2），如果e1的输出等于e2的输入（line13）， n[e1]和n[e2]组成的状态对如果之前没有出现过，放入到队列S中（line14 - line17）。之后添加新的转移（line18），转移的起始状态为(q1,q2)，终止状态为 ( n[e1], n[e2])， 输入为e1的输入，输出为e2的输出，权重为e1和e2的权重之和（注意这里是tropical semiring）。
最后输出结果（line 21）.
然而这种算法并不general 无法处理T1中有ε作为输出或者T2中有ε作为输入的情况。 因为在以上算法line13中o[e1] = i[e2]，ε作为特殊的label，可以和任意匹配，这会导致 redundant paths。
针对此问题，解决方案是给一个Filter作为F，对于T1，每个转移输出如果为ε，换为εo，并且每一个state加一个自旋边，同样T2中每个转移输入如果为ε，换为εi，也加自旋边。新的图作为T1′ 和T2′，最后变成T1′ ◦ F ◦ T2′ 。这样做使得状态对由二元祖变为三元祖，多了一个fileter state，通过设置filter的规则，T1的εo无法立刻和T2中的εi组合起来，这样做相当于过滤了redundant paths。
在实际的实现中，filter并不是临时创建，而是hard coded在composition算法中，本人就openfst算法做简要介绍。
首先引入更general的composition算法，伪代码如下：
其中 Φ就是之前说的filter，和之前的epsilon-free的算法区别不大，状态对由二元祖变为三元祖，多了一个fileter state 也就是变成了q(q1, q2, q3) 以Epsilon-Sequencing Filter为例，该filter规则如下：
⊥表示阻塞状态，在以上算法line10中，如果三元祖中出现阻塞状态，则跳过不做处理，这里取代了部分epsilon-free算法的line13。
至此，我们分别介绍了epsilon-free的composition和 generic composition算法，然而实际代码实现时候仍然有一些优化tricks。
在实际操作中，最费时的epsilon-free算法的line13和generic算法的line10。如果实际q1有N1条转移，q2有N2条转移，暴力搜索的话，时间复杂度是O(N1•N2)。 Openfst引入一个叫Matcher的东西，就是优化这一操作。例如SortedMatcher就是对label排序，比较N1或者N2的大小，对大的那个采取二分查找，这样复杂度降为O(N1•logN2)(N2 > N1)或者O(N2•logN1)(N1 > N2)。在kaldi中进一步优化，例如函数TableCompose中的TableMatcher通过判断每个q1，q2上所有转移上label大小的稀疏性（转移的总数除以最大label和事先决定的阈值table ratio比较判定），在不过分稀疏的时候建立一个table缓存来记录是否存在某个label及其相应的位置，这样匹配的时候直接常数时间内就能决定，这样直接查表避免了二分查找， 时间复杂度为O(N1+N2).