1. 前言
前面博客介绍了CTR预估中的贝叶斯平滑方法的原理http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6389222.html。
这篇博客主要是介绍如何对贝叶斯平滑的参数进行估计，以及具体的代码实现。
首先，我们回顾一下前文中介绍的似然函数，也就是我们需要进行最大化的目标函数：
下面我们就基于这个目标函数介绍怎样估计参数。
2. 参数估计的几种方法
1. 矩估计
矩估计在这里有点乱入的意思：），因为它其实不是用来最大化似然函数的，而是直接进行参数的近似估计。
矩估计的方法要追溯到19世纪的Karl Pearson，是基于一种简单的 “替换” 思想建立起来的一种估计方法。 其基本思想是用样本矩估计总体矩. 由大数定理，如果未知参数和总体的某个(些)矩有关系，我们可以很自然地来构造未知参数的估计。具体计算步骤如下：
1）根据给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。比如，有两个参数时，需要先计算出：期望 ; 方差 。在Beta分布中，可以计算得到，E(x) = α / (α+β)，D(x) = αβ / (α+β)2(α+β+1)。
2）根据给出的样本，按照计算样本的原点矩。通常它的均值mean用 表示，方差var用 表示。（另外提一句，求时，通常用n-1为底。这样是想让结果跟接近总体的方差，又称为无偏估计）
3）让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。所得结果即为参数的矩估计值。这里有，mean = E(x) = α / (α+β)，var = D(x) = αβ / (α+β)2(α+β+1)。于是乎，我们可以求得α，β：
α = [mean*(1-mean)/var - 1] * mean
β = [mean*(1-mean)/var - 1] * (1-mean)
2. Fixed-point iteration
首先构造出似然函数，然后利用Fixed-point iteration来求得似然函数的最大值。
1）首先给出参数的一个初始值（通常可以使用矩估计得到的结果作为初始值）。
2）在初始值处，构造似然函数的一个紧的下界函数。这个下界函数可以求得其最大值处的闭式解，将此解作为新的估计用于下一次迭代中。
3）不断重复上述（2）的步骤，直至收敛。此时便可到达似然函数的stationary point。如果似然函数是convex的，那么此时就是唯一的最优解。
其实Fixed-point iteration的思想与EM类似。
首先给出两个不等式关系：
1）
2）
由此可以得到对数似然函数的一个下界：
想要得到此下界函数的最大值，可以分别对α，β求偏导，并令之等于零，此时便得到α和β各自的迭代公式：
由此，每次迭代，参数都会达到此次下界函数的最大值处，同时也就使得对应的似然函数值也相应地不断增大，直至收敛到似然函数的最大值处。
3. EM
通过将概率参数作为隐含变量，任何估计概率参数的算法都可以使用EM进一步变成估计个数参数的算法。
（1）E-step：计算出隐含变量p在已观测数据（观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值）下的后验分布，便可以得到完全数据的对数似然函数的期望值。
（2）M-step：对E-step中的期望值求最大值，便可得到相应的超参数的本轮迭代的更新值。
（3）不断重复地运行E-step和M-step，直至收敛。
回来我们这里的问题上，在有了观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值后，隐含变量p的后验分布为：
而此时的完全数据的对数似然函数的期望为：
其中，
于是乎，我们可以对完全数据的对数似然函数的期望求最大值，从而得到α，β的更新值，有很多方法，直接求偏导，梯度下降，牛顿法等。
但是呢，此时我们并不需要非常精确地求得它的最大值，而是仅仅用牛顿法迭代一次。相比于精确地求得最大值，这种方法在每次迭代时只有一半的计算量，但是迭代次数会超过两倍。
牛顿法的迭代可见：
3. 代码实现
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy
import random
import scipy.special as special
class BayesianSmoothing(object):
def __init__(self, alpha, beta):
self.alpha = alpha
self.beta = beta
def sample(self, alpha, beta, num, imp_upperbound):
'''
生成样本数据
:param alpha:beta分布参数
:param beta:beta分布参数
:param num:样本数量
:param imp_upperbound:
:return:I展示数量，C点击数量
'''
sample = numpy.random.beta(alpha, beta, num)
I = []
C = []
for clk_rt in sample:
imp = random.random() * imp_upperbound
clk = imp * clk_rt
I.append(imp)
C.append(clk)
return I, C
def update(self, imps, clks, iter_num, epsilon):
'''
更新beta分布参数，alpha,beta
:param imps: 展示数量
:param clks: 点击数量
:param iter_num: 迭代次数
:param epsilon:终止条件
:return:
'''
for i in range(iter_num):
new_alpha, new_beta = self.__fixed_point_iteration(imps, clks, self.alpha, self.beta)
if abs(new_alpha-self.alpha)<epsilon and abs(new_beta-self.beta)<epsilon:
break
self.alpha = new_alpha
self.beta = new_beta
def __fixed_point_iteration(self, imps, clks, alpha, beta):
'''
:param imps: 展示数量
:param clks: 点击数量
:param alpha:
:param beta:
:return: 返回新的alpha beta
'''
numerator_alpha = 0.0
numerator_beta = 0.0
denominator = 0.0
for i in range(len(imps)):
numerator_alpha += (special.digamma(clks[i]+alpha) - special.digamma(alpha))
numerator_beta += (special.digamma(imps[i]-clks[i]+beta) - special.digamma(beta))
denominator += (special.digamma(imps[i]+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta))
return alpha*(numerator_alpha/denominator), beta*(numerator_beta/denominator)
def test():
bs = BayesianSmoothing(1, 1)
I, C = bs.sample(500, 500, 1000, 10000)
print(I, C)
bs.update(I, C, 1000, 0.0000000001)
print(bs.alpha, bs.beta)
if __name__ == '__main__':
test()