[BZOJ2599][IOI2011]Race（点分治）

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2599

Solution

看到 $K$ 才 $10^6$ ，考虑如何求经过一个点 $u$ 的长度为 $K$ 的路径的边数最小值。
以 $u$ 为根，顺序遍历 $u$ 的每个子树，计算每个点到 $u$ 的距离，称为 $dis$ 。用一个数组 $orz$ ，保存对于每个 $i$ ，所有遍历过的子树内的点（包括 $u$ ）中满足 $dis[x]=i$ 的点 $x$ 的（ $x$ 的深度 $-u$ 的深度）的最小值。遍历之前只有 $u$ 被遍历过，因此 $orz[0]=0$ ， 对于所有的 $i\in[1,K]$ ， $orz[i]=\infty$ 。
如果当前在遍历 $v$ （ $u$ 的子节点）的子树。那么 $orz$ 里保存了 $u$ 即 $v$ 之前的子树（不包括 $v$ 的子树）内的信息。而如果 $v$ 的子树内有一个点 $w$ ， $w$ 到 $u$ 的距离为 $x$ ， $w$ 到 $u$ 经过的边数为 $y$ ，那么可以设想，存在一条路径：
$p$ 在 $u$ 的 $v$ 之前的子树内， $p$ 到 $u$ 的距离为 $K-x$ ， $u$ 到 $w$ 的距离为 $x$ ，此路径为 $p->w$ 。
那么，就可以用：

$$orz[K-x]+depth[w]-depth[u]$$
更新答案。
遍历完 $v$ 的子树后，还要对于子树内的每个点 $w$ ，
$$orz[dis[w]]←\min(orz[dis[w]],depth[w]-depth[u])$$
但题目求的不仅仅是经过 $u$ 的路径，因此用点分治，每次对分治出的子树都进行上述操作。 复杂度 $O(n\log n+K)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Edge(u) for (int e = adj[u], v = go[e]; e; e = nxt[e], v = go[e])
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 2e5 + 5, M = N << 1, E = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, K, ecnt, nxt[M], adj[N], go[M], val[M], sze[N], maxs[N], dis[N], orz[E],
ans = INF, tot, sp[N], dep[N]; bool vis[N];
void add_edge(int u, int v, int w) {
    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w;
    nxt[++ecnt] = adj[v]; adj[v] = ecnt; go[ecnt] = u; val[ecnt] = w;
}
void dfs1(int u, int fu) {
    sze[u] = 1; maxs[u] = 0; Edge(u) if (v != fu && !vis[v]) dfs1(v, u),
        sze[u] += sze[v], maxs[u] = max(maxs[u], sze[v]);
}
void dfs2(int u, int fu, int r, int &G) {
    maxs[u] = max(maxs[u], sze[r] - sze[u]);
    Edge(u) if (v != fu && !vis[v]) dfs2(v, u, r, G); if (maxs[u] < maxs[G]) G = u;
}
int calcG(int u) {int G = u; dfs1(u, 0); dfs2(u, 0, u, G); return G;}
void dfs(int u, int fu, int d) {
    if (dis[u] > K) return; sp[++tot] = dis[u]; dep[tot] = d;
    Edge(u) if (v != fu && !vis[v]) dis[v] = dis[u] + val[e], dfs(v, u, d + 1);
}
void xyz32768issoweak(int u) {
    int i, G = calcG(u); vis[G] = 1; orz[0] = tot = 0; Edge(G) if (!vis[v]) {
        int tmp = tot; dis[v] = val[e]; dfs(v, G, 1);
        For (i, tmp + 1, tot) ans = min(ans, dep[i] + orz[K - sp[i]]);
        For (i, tmp + 1, tot) orz[sp[i]] = min(orz[sp[i]], dep[i]);
    }
    orz[0] = INF; For (i, 1, tot) orz[sp[i]] = INF;
    Edge(G) if (!vis[v]) xyz32768issoweak(v);
}
int main() {
    memset(orz, INF, sizeof(orz));
    int i, x, y, z; n = read(); K = read(); For (i, 1, n - 1)
        x = read() + 1, y = read() + 1, z = read(), add_edge(x, y, z);
    if (K == 0) return puts("0"), 0; xyz32768issoweak(1);
    if (ans == INF) return puts("-1"), 0; cout << ans << endl; return 0;
}